安徽师范大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
六，（15 分）设 $\displaystyle f, g$ 为线性空间 $V$ 的线性变换，且 $\displaystyle f^{2}=f, g^{2}=g$ 。证明：$f$ 与 $g$ 由相同核的充分必要条件是 $\displaystyle f g=f$ 且 $\displaystyle g f=g$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确已知条件
已知 $f, g$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $f^2 = f$, $g^2 = g$，即 $f$ 和 $g$ 都是幂等变换。需要证明 $\ker f = \ker g$ 当且仅当 $fg = f$ 且 $gf = g$。
公式：f^2 = f, g^2 = g
提示：注意幂等变换的性质：$f(x) \in \operatorname{Im} f$ 且 $x - f(x) \in \ker f$。
步骤 2/4
目标：证明必要性：由相同核推出等式
假设 $\ker f = \ker g$。对任意 $x \in V$，由于 $g^2 = g$，有 $g(g(x)) = g(x)$，即 $g(g(x) - x) = 0$，所以 $g(x) - x \in \ker g = \ker f$。于是 $f(g(x) - x) = 0$，即 $f(g(x)) = f(x)$。由 $x$ 的任意性得 $fg = f$。类似地，由 $f^2 = f$ 得 $f(x) - x \in \ker f = \ker g$，故 $g(f(x) - x) = 0$，即 $g(f(x)) = g(x)$，所以 $gf = g$。
公式：g(x) - x \in \ker g, f(x) - x \in \ker f
提示：注意利用幂等变换的性质：$g(x) - x \in \ker g$ 是因为 $g(g(x)-x)=g^2(x)-g(x)=0$。
步骤 3/4
目标：证明充分性：由等式推出相同核
假设 $fg = f$ 且 $gf = g$。先证 $\ker f \subseteq \ker g$：取 $x \in \ker f$，则 $f(x)=0$。由 $gf = g$ 得 $g(f(x)) = g(x)$，即 $g(0) = g(x)$，所以 $g(x)=0$，故 $x \in \ker g$。再证 $\ker g \subseteq \ker f$：取 $x \in \ker g$，则 $g(x)=0$。由 $fg = f$ 得 $f(g(x)) = f(x)$，即 $f(0) = f(x)$，所以 $f(x)=0$，故 $x \in \ker f$。因此 $\ker f = \ker g$。
公式：gf = g, fg = f
提示：注意线性变换的零元映射：$f(0)=0$。
步骤 4/4
目标：总结结论
综上，$f$ 与 $g$ 有相同核的充要条件是 $fg = f$ 且 $gf = g$。
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