安徽师范大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
一、（15分）设 $\displaystyle p(x), f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，且 $\displaystyle p(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上不可约．
（1）若存在 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}$ ，使得 $\displaystyle p(\alpha)=f(\alpha)=0$ ，则 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ ；
（2）若 $\displaystyle a+\sqrt{b}(a, b$ 为有理数，$\displaystyle \sqrt{b}$ 为无理数 $\displaystyle )$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个根，则 $\displaystyle a-\sqrt{b}$ 也为 $\displaystyle f(x)$ 的根．．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题目条件
已知 $p(x), f(x) \in \mathbb{Q}[x]$，且 $p(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。存在 $\alpha \in \mathbb{R}$ 使得 $p(\alpha)=f(\alpha)=0$。需要证明 $p(x) \mid f(x)$。
提示：注意 $p(x)$ 不可约的条件，以及 $\alpha$ 是公共根。
步骤 2/7
目标：利用极小多项式性质
由于 $p(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约且 $p(\alpha)=0$，则 $p(x)$ 是 $\alpha$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式（可能相差非零常数倍）。因为 $f(\alpha)=0$，根据极小多项式的性质，极小多项式整除任何以该数为根的多项式，所以 $p(x) \mid f(x)$。
提示：极小多项式是唯一的（首一），但这里 $p(x)$ 可能不是首一，但不影响整除性。
步骤 3/7
目标：理解第二问条件
设 $a+\sqrt{b}$ 是 $f(x)$ 的一个根，其中 $a,b \in \mathbb{Q}$，且 $\sqrt{b}$ 为无理数。需要证明 $a-\sqrt{b}$ 也是 $f(x)$ 的根。
提示：注意 $\sqrt{b}$ 是无理数，意味着 $b$ 不是完全平方数。
步骤 4/7
目标：构造辅助多项式
考虑多项式 $g(x) = (x - (a+\sqrt{b}))(x - (a-\sqrt{b})) = (x-a)^2 - b$。由于 $a,b \in \mathbb{Q}$，所以 $g(x) \in \mathbb{Q}[x]$，且 $g(a+\sqrt{b})=0$。
公式：$g(x) = (x-a)^2 - b$
提示：注意 $g(x)$ 的系数是有理数。
步骤 5/7
目标：证明 $g(x)$ 不可约
因为 $\sqrt{b}$ 是无理数，所以 $g(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上无根，且次数为2，因此 $g(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。
提示：二次多项式在有理数域上不可约当且仅当判别式不是完全平方数。
步骤 6/7
目标：利用最大公因式
考虑 $d(x) = \gcd(f(x), g(x))$。由于 $a+\sqrt{b}$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公共根，所以 $d(x)$ 的次数至少为1。又因为 $d(x) \mid g(x)$ 且 $g(x)$ 不可约，所以 $d(x)$ 是 $g(x)$ 的非零常数倍，从而 $g(x) \mid f(x)$。
提示：注意 $g(x)$ 不可约，因此其因式只有常数和自身。
步骤 7/7
目标：得出结论
由 $g(x) \mid f(x)$ 可知，$g(x)$ 的根都是 $f(x)$ 的根。而 $a-\sqrt{b}$ 是 $g(x)$ 的根，因此 $a-\sqrt{b}$ 也是 $f(x)$ 的根。
提示：注意 $g(x)$ 的两个根就是 $a\pm\sqrt{b}$。
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