安徽师范大学 2021年高等代数第0题

已知 $A(\lambda)$ 是5阶 $\lambda$-矩阵，秩为4。初等因子为：$\lambda, \lambda, \lambda^2, \lambda-1, \lambda-1, \lambda+1, (\lambda+1)^2$。初等因子总个数为7，而矩阵阶数为5，说明存在零因子（即行列式为零），且秩为4意味着第5个不变因子为0。

将初等因子按不可约多项式分组： - 对于 $\lambda$：$\lambda, \lambda, \lambda^2$，指数为1,1,2，降序排列得 $[2,1,1]$。 - 对于 $\lambda-1$：$\lambda-1, \lambda-1$，指数均为1，降序排列得 $[1,1]$。 - 对于 $\lambda+1$：$\lambda+1, (\lambda+1)^2$，指数为1,2，降序排列得 $[2,1]$。

由于矩阵阶数为5，不变因子有5个，其中第5个为0。前4个不变因子由各组指数序列对应位置相乘得到。将各组指数序列补零至长度4： - $\lambda$ 组：$[2,1,1,0]$ - $\lambda-1$ 组：$[1,1,0,0]$ - $\lambda+1$ 组：$[2,1,0,0]$ 则第 $i$ 个不变因子（按次数从高到低）为各序列第 $i$ 个指数对应的因子乘积： - 第1高：$\lambda^2 \cdot (\lambda-1)^1 \cdot (\lambda+1)^2 = \lambda^2(\lambda-1)(\lambda+1)^2$ - 第2高：$\lambda^1 \cdot (\lambda-1)^1 \cdot (\lambda+1)^1 = \lambda(\lambda-1)(\lambda+1)$ - 第3高：$\lambda^1 \cdot (\lambda-1)^0 \cdot (\lambda+1)^0 = \lambda$ - 第4高：$1$（所有指数为0） - 第5个：0

不变因子必须满足整除关系：$d_1(\lambda) \mid d_2(\lambda) \mid \cdots \mid d_5(\lambda)$。因此将上一步得到的因子按次数递增排列： - $d_1(\lambda)=1$（次数0） - $d_2(\lambda)=\lambda$（次数1） - $d_3(\lambda)=\lambda(\lambda-1)(\lambda+1)$（次数3） - $d_4(\lambda)=\lambda^2(\lambda-1)(\lambda+1)^2$（次数5） - $d_5(\lambda)=0$ 验证整除：$1 \mid \lambda$，$\lambda \mid \lambda(\lambda-1)(\lambda+1)$，$\lambda(\lambda-1)(\lambda+1) \mid \lambda^2(\lambda-1)(\lambda+1)^2$，$d_4 \mid 0$，均成立。

行列式因子 $D_k(\lambda) = d_1(\lambda) d_2(\lambda) \cdots d_k(\lambda)$，$k=1,2,3,4,5$。 - $D_1(\lambda)=1$ - $D_2(\lambda)=1 \cdot \lambda = \lambda$ - $D_3(\lambda)=1 \cdot \lambda \cdot \lambda(\lambda-1)(\lambda+1) = \lambda^2(\lambda-1)(\lambda+1)$ - $D_4(\lambda)=1 \cdot \lambda \cdot \lambda(\lambda-1)(\lambda+1) \cdot \lambda^2(\lambda-1)(\lambda+1)^2 = \lambda^4(\lambda-1)^2(\lambda+1)^3$ - $D_5(\lambda)=0$

Smith标准形是对角矩阵，对角线元素依次为不变因子： $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda(\lambda-1)(\lambda+1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^2(\lambda-1)(\lambda+1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$