安徽师范大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
三、（20 分）当 $\displaystyle \lambda$ 为何值时，方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=(a-1) \lambda+1 \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=a \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=a\end{array}\right.$ 有唯一解、有无穷多解、无解？并在有解时求出解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出系数矩阵和增广矩阵
方程组为 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=(a-1) \lambda+1 \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=a \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=a\end{array}\right.$。系数矩阵 $A=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}$，增广矩阵 $\bar{A}=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 & (a-1)\lambda+1 \\ 1 & \lambda & 1 & a \\ 1 & 1 & \lambda & a \end{pmatrix}$。
提示：注意增广矩阵最后一列是常数项，不要写错。
步骤 2/7
目标：计算系数矩阵的行列式
计算 $|A|=\begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix}$。将第2、3行加到第1行，得 $\begin{vmatrix} \lambda+2 & \lambda+2 & \lambda+2 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix}=(\lambda+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix}$。再第2、3行减去第1行，得 $(\lambda+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-1 \end{vmatrix}=(\lambda+2)(\lambda-1)^2$。
公式：行列式性质：行变换不改变行列式的值（倍加变换）
提示：注意提取公因子时不要遗漏；当λ=1或-2时行列式为零。
步骤 3/7
目标：讨论唯一解情况
当 $\lambda\neq1$ 且 $\lambda\neq-2$ 时，$|A|\neq0$，方程组有唯一解。此时可用克莱姆法则求解。
公式：克莱姆法则：若 $|A|\neq0$，则 $x_i=\frac{D_i}{|A|}$
提示：注意唯一解的条件是行列式非零。
步骤 4/7
目标：讨论λ=1时的无穷多解
当 $\lambda=1$ 时，$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$，$\bar{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&a\\1&1&1&a\\1&1&1&a\end{pmatrix}$。$r(A)=1$，$r(\bar{A})=1$，方程组有无穷多解。方程组化为 $x_1+x_2+x_3=a$，通解为 $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\0\\0\end{pmatrix}+k_1\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$，$k_1,k_2\in\mathbb{R}$。
公式：线性方程组解的结构：齐次解+特解
提示：注意自由变量的个数为3-1=2；特解可取(a,0,0)或(0,a,0)等。
步骤 5/7
目标：讨论λ=-2时的无解情况
当 $\lambda=-2$ 时，$A=\begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{pmatrix}$，$\bar{A}=\begin{pmatrix}-2&1&1&-2a+3\\1&-2&1&a\\1&1&-2&a\end{pmatrix}$。对增广矩阵作初等行变换：
$\begin{pmatrix}-2&1&1&-2a+3\\1&-2&1&a\\1&1&-2&a\end{pmatrix}\xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_2}\begin{pmatrix}1&-2&1&a\\-2&1&1&-2a+3\\1&1&-2&a\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2+2r_1,r_3-r_1}\begin{pmatrix}1&-2&1&a\\0&-3&3&3\\0&3&-3&0\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3+r_2}\begin{pmatrix}1&-2&1&a\\0&-3&3&3\\0&0&0&3\end{pmatrix}$。
$r(A)=2$，$r(\bar{A})=3$，方程组无解。
公式：线性方程组有解判别定理：$r(A)=r(\bar{A})$ 时有解
提示：注意行变换过程中保持矩阵等价；最后一行出现矛盾0=3。
步骤 6/7
目标：用克莱姆法则求唯一解
当 $\lambda\neq1$ 且 $\lambda\neq-2$ 时，计算 $D_1,D_2,D_3$：
$D_1=\begin{vmatrix}(a-1)\lambda+1&1&1\\a&\lambda&1\\a&1&\lambda\end{vmatrix}=(a-1)\lambda(\lambda-1)^2+(\lambda-1)^2$，
$D_2=\begin{vmatrix}\lambda&(a-1)\lambda+1&1\\1&a&1\\1&a&\lambda\end{vmatrix}=(\lambda-1)^2(a-\lambda+1)$，
$D_3=\begin{vmatrix}\lambda&1&(a-1)\lambda+1\\1&\lambda&a\\1&1&a\end{vmatrix}=(\lambda-1)^2(a-\lambda+1)$。
则 $x_1=\frac{D_1}{|A|}=\frac{(a-1)\lambda+1}{\lambda+2}$，$x_2=\frac{D_2}{|A|}=\frac{a-\lambda+1}{\lambda+2}$，$x_3=\frac{D_3}{|A|}=\frac{a-\lambda+1}{\lambda+2}$。
公式：克莱姆法则：$x_i=D_i/|A|$
提示：计算行列式时注意化简，可提取公因子(λ-1)^2。
步骤 7/7
目标：总结所有情况
综上所述：
- 当 $\lambda\neq1$ 且 $\lambda\neq-2$ 时，方程组有唯一解，解为 $x_1=\frac{(a-1)\lambda+1}{\lambda+2}$，$x_2=x_3=\frac{a-\lambda+1}{\lambda+2}$。
- 当 $\lambda=1$ 时，方程组有无穷多解，通解为 $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\0\\0\end{pmatrix}+k_1\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$，$k_1,k_2\in\mathbb{R}$。
- 当 $\lambda=-2$ 时，方程组无解。
提示：注意区分参数λ和a；无穷多解时通解形式不唯一。
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