安徽师范大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
九、（15 分）设 $A$ 是 $n$ 阶非零实反对称矩阵。证明：
（1）$A$ 的特征值只能为 0 或纯虚数；
（2）矩阵 $\displaystyle T=(E+A)^{-1}(E-A)$ 为正交矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明特征值满足共轭关系
设 $\lambda$ 是 $A$ 的任意特征值，$\mathbf{x}$ 为对应的特征向量，即 $A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$，$\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$。由于 $A$ 是实反对称矩阵，满足 $A^T = -A$。考虑 $\mathbf{x}^H A \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x}^H$ 是 $\mathbf{x}$ 的共轭转置。一方面，$\mathbf{x}^H A \mathbf{x} = \mathbf{x}^H (\lambda \mathbf{x}) = \lambda \|\mathbf{x}\|^2$。另一方面，取共轭转置得 $(\mathbf{x}^H A \mathbf{x})^H = \mathbf{x}^H A^T \mathbf{x} = -\mathbf{x}^H A \mathbf{x}$。而 $(\mathbf{x}^H A \mathbf{x})^H = \overline{\mathbf{x}^H A \mathbf{x}}$，所以 $\overline{\lambda \|\mathbf{x}\|^2} = -\lambda \|\mathbf{x}\|^2$，即 $\bar{\lambda} = -\lambda$。
公式：$\bar{\lambda} = -\lambda$
提示：注意共轭转置的性质：$(\mathbf{x}^H A \mathbf{x})^H = \mathbf{x}^H A^T \mathbf{x}$，且 $A^T = -A$。
步骤 2/6
目标：由共轭关系推出特征值类型
由 $\bar{\lambda} = -\lambda$ 可知，$\lambda$ 的实部为0，即 $\lambda$ 为0或纯虚数。
提示：纯虚数满足 $\bar{\lambda} = -\lambda$，实数0也满足。
步骤 3/6
目标：证明 $E+A$ 可逆
由于 $A$ 的特征值只能是0或纯虚数，因此 $-1$ 不是 $A$ 的特征值（否则 $A$ 有特征值 $-1$，但 $-1$ 是实数且非零，矛盾），故 $E+A$ 可逆。
提示：可逆的充要条件是0不是特征值，这里 $-1$ 不是特征值意味着 $E+A$ 可逆。
步骤 4/6
目标：计算 $T$ 的转置
令 $T = (E+A)^{-1}(E-A)$。则 $T^T = ((E+A)^{-1}(E-A))^T = (E-A)^T ((E+A)^{-1})^T$。由于 $(E-A)^T = E - A^T = E + A$，且 $((E+A)^{-1})^T = ((E+A)^T)^{-1} = (E - A)^{-1}$，所以 $T^T = (E+A)(E-A)^{-1}$。
公式：$T^T = (E+A)(E-A)^{-1}$
提示：注意转置和逆的运算顺序：$(AB)^T = B^T A^T$，$(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$。
步骤 5/6
目标：计算 $T^T T$
$T^T T = (E+A)(E-A)^{-1} (E+A)^{-1} (E-A)$。由于 $(E-A)(E+A) = (E+A)(E-A)$，两边取逆可得 $(E-A)^{-1}(E+A)^{-1} = (E+A)^{-1}(E-A)^{-1}$。因此 $T^T T = (E+A) (E+A)^{-1} (E-A)^{-1} (E-A) = E \cdot E = E$。
公式：$T^T T = E$
提示：注意矩阵乘法的交换性：$(E-A)$ 与 $(E+A)$ 可交换，因此它们的逆也可交换。
步骤 6/6
目标：得出结论
由 $T^T T = E$ 可知 $T$ 为正交矩阵。
提示：正交矩阵的定义是 $T^T T = E$。
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