安徽师范大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
二、（15 分）计算行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}x_{1} & a_{1} & \ldots & a_{1} & a_{1} \\ a_{2} & x_{2} & \ldots & a_{2} & a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n-1} & a_{n-1} & \ldots & x_{n-1} & a_{n-1} \\ a_{n} & a_{n} & \ldots & a_{n} & x_{n}\end{array}\right|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：行变换消去下方元素
将行列式 $D_n$ 的第 $i$ 行乘以 $-1$ 加到第 $i+1$ 行，其中 $i=1,2,\dots,n-1$。得到新行列式：
$$D_n = \begin{vmatrix}
x_1 & a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\
a_2 - x_1 & x_2 - a_1 & 0 & \cdots & 0 \\
a_3 - a_2 & a_3 - a_2 & x_3 - a_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n - a_{n-1} & a_n - a_{n-1} & a_n - a_{n-1} & \cdots & x_n - a_{n-1}
\end{vmatrix}.$$
公式：行变换：$R_{i+1} - R_i$
提示：注意行变换后，第2行第1列变为 $a_2 - x_1$，第2行第2列变为 $x_2 - a_1$，其余第2行元素为0。类似地，第3行前两列相等，第三列为 $x_3 - a_2$，等等。
步骤 2/5
目标：列变换化第一列
假设所有 $x_i \neq a_{i-1}$（其中 $a_0=0$），将第 $j$ 列（$j=2,\dots,n$）乘以 $\frac{a_1}{x_j - a_{j-1}}$ 加到第1列。注意：第2列乘 $\frac{a_1}{x_2 - a_1}$，第3列乘 $\frac{a_1}{x_3 - a_2}$，依此类推。变换后，第1列除第一行外全变为0：
$$D_n = \begin{vmatrix}
x_1 + \sum_{j=2}^n \frac{a_1 a_j}{x_j - a_{j-1}} & a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\
0 & x_2 - a_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & x_3 - a_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x_n - a_{n-1}
\end{vmatrix}.$$
公式：列变换：$C_1 + \sum_{j=2}^n \frac{a_1}{x_j - a_{j-1}} C_j$
提示：注意分母 $x_j - a_{j-1}$ 不能为零，否则需单独处理。另外，第1列第一行元素变为 $x_1 + \sum_{j=2}^n \frac{a_1 a_j}{x_j - a_{j-1}}$。
步骤 3/5
目标：化为上三角行列式
经过列变换后，行列式变为上三角形式：主对角线元素为 $x_1 + \sum_{j=2}^n \frac{a_1 a_j}{x_j - a_{j-1}}$，$x_2 - a_1$，$x_3 - a_2$，$\dots$，$x_n - a_{n-1}$，其余元素均为0。
提示：上三角行列式的值等于主对角线元素的乘积。
步骤 4/5
目标：计算行列式值
因此，行列式 $D_n$ 的值为：
$$D_n = \left( x_1 + \sum_{j=2}^n \frac{a_1 a_j}{x_j - a_{j-1}} \right) \prod_{i=2}^n (x_i - a_{i-1}).$$
公式：上三角行列式公式：$\det = \prod_{i=1}^n d_{ii}$
提示：注意求和从 $j=2$ 到 $n$，乘积从 $i=2$ 到 $n$。
步骤 5/5
目标：特殊情况说明
当某个 $x_i = a_{i-1}$ 时，上述公式分母为零，需单独处理。例如，若 $x_k = a_{k-1}$，则原行列式第 $k$ 行第 $k$ 列元素为零，且第 $k$ 行前 $k-1$ 列元素均为 $a_k - a_{k-1}$，第 $k$ 行后列元素为 $a_k$。此时可通过行变换或按行展开等方法计算，但题目未要求，故一般公式如上。
提示：注意分母为零时公式不适用，需分情况讨论。
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