安徽师范大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
五、（ 15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，且 $\displaystyle A^{2}=2020 A$ ．
（1）证明：秩 $\displaystyle (A)+$ 秩 $\displaystyle (A-2020 E)=n$ ；
（2）若 $A$ 的秩为 $\displaystyle r>0$ ），求 $\displaystyle |E+A|$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用条件推导包含关系
由 $A^2 = 2020A$ 得 $A(A-2020E)=0$。对任意 $x \in V$，有 $A((A-2020E)x)=0$，故 $(A-2020E)x \in \ker A$，即 $\operatorname{Im}(A-2020E) \subseteq \ker A$。
公式：A(A-2020E)=0
提示：注意线性变换的像与核的定义
步骤 2/7
目标：证明反向包含关系
对任意 $x \in \ker A$，有 $Ax=0$，则 $(A-2020E)x = -2020x$，所以 $x = -\frac{1}{2020}(A-2020E)x \in \operatorname{Im}(A-2020E)$，故 $\ker A \subseteq \operatorname{Im}(A-2020E)$。
提示：注意系数 $-1/2020$ 非零，保证可逆
步骤 3/7
目标：得出核与像相等
由两步包含关系得 $\ker A = \operatorname{Im}(A-2020E)$。
提示：集合相等需双向包含
步骤 4/7
目标：应用维数公式
由维数公式，$\dim \ker A + \dim \operatorname{Im} A = n$。而 $\dim \ker A = \dim \operatorname{Im}(A-2020E) = \operatorname{rank}(A-2020E)$，$\dim \operatorname{Im} A = \operatorname{rank}(A)$，故 $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(A-2020E) = n$。
公式：\dim \ker A + \dim \operatorname{Im} A = n
提示：注意维数公式中像的维数就是秩
步骤 5/7
目标：分析特征值
由 $A^2 = 2020A$ 知 $A$ 满足多项式 $\lambda^2 = 2020\lambda$，即 $\lambda(\lambda-2020)=0$，故特征值只能是 $0$ 或 $2020$。
公式：\lambda(\lambda-2020)=0
提示：特征值满足零化多项式
步骤 6/7
目标：判断可对角化并写出相似标准型
由于 $A$ 满足无重根的多项式 $x(x-2020)$，故 $A$ 可对角化。又 $\operatorname{rank}(A)=r>0$，所以 $A$ 相似于 $\operatorname{diag}(2020,\dots,2020,0,\dots,0)$，其中有 $r$ 个 $2020$，$n-r$ 个 $0$。
提示：最小多项式无重根是可对角化的充要条件
步骤 7/7
目标：计算行列式
则 $E+A$ 相似于 $\operatorname{diag}(1+2020,\dots,1+2020,1,\dots,1)=\operatorname{diag}(2021,\dots,2021,1,\dots,1)$，其中 $2021$ 出现 $r$ 次，$1$ 出现 $n-r$ 次。故 $|E+A| = 2021^r \cdot 1^{n-r} = 2021^r$。
公式：|E+A| = 2021^r
提示：相似矩阵行列式相等
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