安徽师范大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
八、（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle p(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的多项式，$k$ 是正整数。
（1）证明：若 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle \left(f(x), f^{\prime}(x)\right)$ 的 $k$ 重因式，则 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的 $\displaystyle k+1$ 重因式；
（2）若 $\displaystyle f(x)=x^{5}-x^{4}-x^{3}-11 x^{2}-8 x-12$ ，将 $\displaystyle f(x)$ 在有理数范围内因式分解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解题意并设出多项式形式
设 $p(x)$ 是 $(f(x), f'(x))$ 的 $k$ 重因式，则存在多项式 $g(x)$ 使得 $f(x) = p(x)^{k+1} g(x)$，且 $p(x) \nmid g(x)$。
公式：f(x) = p(x)^{k+1} g(x)
提示：注意 $p(x)$ 不可约，且 $g(x)$ 与 $p(x)$ 互质。
步骤 2/8
目标：对 $f(x)$ 求导
对 $f(x) = p(x)^{k+1} g(x)$ 求导，得 $f'(x) = (k+1)p(x)^k p'(x) g(x) + p(x)^{k+1} g'(x) = p(x)^k [(k+1)p'(x)g(x) + p(x)g'(x)]$。
公式：f'(x) = p(x)^k [(k+1)p'(x)g(x) + p(x)g'(x)]
提示：注意求导法则：$(uv)' = u'v + uv'$。
步骤 3/8
目标：分析 $p(x)$ 在 $f'(x)$ 中的重数
由于 $p(x) \nmid g(x)$ 且 $p(x) \nmid p'(x)$（因为 $p(x)$ 不可约，$p'(x)$ 次数低于 $p(x)$），所以 $p(x) \nmid (k+1)p'(x)g(x) + p(x)g'(x)$。因此 $p(x)$ 是 $f'(x)$ 的 $k$ 重因式。
提示：不可约多项式与其导数互质。
步骤 4/8
目标：得出结论
由 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $k+1$ 重因式（因为 $f(x)$ 中 $p(x)$ 的指数为 $k+1$），且 $p(x)$ 是 $f'(x)$ 的 $k$ 重因式，故 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $k+1$ 重因式。
提示：注意重因式的定义：若 $p(x)^m \mid f(x)$ 但 $p(x)^{m+1} \nmid f(x)$，则 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $m$ 重因式。
步骤 5/8
目标：求有理根
对于 $f(x)=x^5-x^4-x^3-11x^2-8x-12$，可能的有理根为 $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12$。计算得 $f(1)=-20$，$f(-1)=-6$，$f(2)=-36$，$f(-2)=0$，所以 $x+2$ 是因子。
提示：有理根定理：若 $p/q$ 是有理根，则 $p$ 整除常数项，$q$ 整除首项系数。
步骤 6/8
目标：多项式除法
用 $f(x)$ 除以 $x+2$，得 $f(x)=(x+2)(x^4-3x^3+5x^2-21x-6)$。
提示：多项式除法要仔细，注意系数对齐。
步骤 7/8
目标：分解四次多项式
对 $g(x)=x^4-3x^3+5x^2-21x-6$ 尝试有理根，无有理根。尝试分解为 $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$，比较系数得方程组：$a+c=-3$，$ac+b+d=5$，$ad+bc=-21$，$bd=-6$。经尝试整数解，无解，故在有理数范围内不可再分解。
提示：注意检查所有可能的整数因子组合。
步骤 8/8
目标：写出最终分解式
因此 $f(x)=(x+2)(x^4-3x^3+5x^2-21x-6)$。
提示：最终结果要写成乘积形式。
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