安徽师范大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
六、（20 分）设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 是向量空间 $V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ 。证明：
（1） $\displaystyle \mathcal{A}$ 为可逆变换当且仅当 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为恒等变换；
（2） $\displaystyle \mathcal{A}$ 的特征值只能为 0 或 1 ；
（3）若 $\displaystyle V_{0}, V_{1}$ 分别是特征值 0,1 的特征子空间，则 $\displaystyle V_{1}=\mathcal{A}$ 的值域 $\displaystyle \mathcal{A} V, V_{0}=\mathcal{A}$ 的核 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明（1）的必要性：若A可逆，则A为恒等变换
已知 $\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}$，且 $\mathcal{A}$ 可逆，则存在逆变换 $\mathcal{A}^{-1}$。在等式两边左乘 $\mathcal{A}^{-1}$，得 $\mathcal{A}^{-1}\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}^{-1}\mathcal{A}$，即 $\mathcal{A} = I$，其中 $I$ 为恒等变换。
公式：$\mathcal{A}^{-1}\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}^{-1}\mathcal{A}$
提示：注意左乘逆变换时，顺序不能颠倒，且需保证可逆性。
步骤 2/7
目标：证明（1）的充分性：若A为恒等变换，则A可逆
若 $\mathcal{A} = I$，则显然 $\mathcal{A}$ 可逆，且其逆为自身，因为 $I^2 = I$。
提示：恒等变换总是可逆的。
步骤 3/7
目标：证明（2）：特征值只能为0或1
设 $\lambda$ 是 $\mathcal{A}$ 的特征值，$\alpha \neq 0$ 为对应的特征向量，满足 $\mathcal{A}\alpha = \lambda\alpha$。由 $\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}$，得 $\mathcal{A}^2\alpha = \mathcal{A}\alpha$，即 $\lambda^2\alpha = \lambda\alpha$，整理得 $(\lambda^2 - \lambda)\alpha = 0$。由于 $\alpha \neq 0$，故 $\lambda^2 - \lambda = 0$，解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 1$。
公式：$(\lambda^2 - \lambda)\alpha = 0$
提示：特征向量非零是重要条件，否则无法推出系数为零。
步骤 4/7
目标：证明（3）中 $V_1 = \mathcal{A}V$ 的包含关系 $\mathcal{A}V \subseteq V_1$
任取 $\beta \in \mathcal{A}V$，则存在 $\alpha \in V$ 使得 $\beta = \mathcal{A}\alpha$。计算 $\mathcal{A}\beta = \mathcal{A}(\mathcal{A}\alpha) = \mathcal{A}^2\alpha = \mathcal{A}\alpha = \beta$，因此 $\beta$ 是特征值1的特征向量，即 $\beta \in V_1$。故 $\mathcal{A}V \subseteq V_1$。
公式：$\mathcal{A}\beta = \beta$
提示：注意利用 $\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}$ 进行化简。
步骤 5/7
目标：证明（3）中 $V_1 = \mathcal{A}V$ 的反向包含关系 $V_1 \subseteq \mathcal{A}V$
任取 $\beta \in V_1$，则 $\mathcal{A}\beta = \beta$。于是 $\beta = \mathcal{A}\beta \in \mathcal{A}V$，故 $V_1 \subseteq \mathcal{A}V$。结合上一步，得 $V_1 = \mathcal{A}V$。
提示：直接由特征值定义得到 $\beta$ 是 $\mathcal{A}$ 的像。
步骤 6/7
目标：证明（3）中 $V_0 = \mathcal{A}^{-1}(0)$ 的包含关系 $V_0 \subseteq \mathcal{A}^{-1}(0)$
任取 $\alpha \in V_0$，则 $\mathcal{A}\alpha = 0$，由核的定义，$\alpha \in \mathcal{A}^{-1}(0)$，故 $V_0 \subseteq \mathcal{A}^{-1}(0)$。
提示：核的定义是 $\mathcal{A}^{-1}(0) = \{\alpha \in V \mid \mathcal{A}\alpha = 0\}$。
步骤 7/7
目标：证明（3）中 $V_0 = \mathcal{A}^{-1}(0)$ 的反向包含关系 $\mathcal{A}^{-1}(0) \subseteq V_0$
任取 $\alpha \in \mathcal{A}^{-1}(0)$，则 $\mathcal{A}\alpha = 0$，即 $\alpha$ 是特征值0的特征向量，故 $\alpha \in V_0$，因此 $\mathcal{A}^{-1}(0) \subseteq V_0$。结合上一步，得 $V_0 = \mathcal{A}^{-1}(0)$。
提示：注意 $V_0$ 是特征值0的特征子空间，包含所有满足 $\mathcal{A}\alpha = 0$ 的向量。
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