安徽师范大学 2024年高等代数第0题

二次型 $f$ 的矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & a \\ -2 & a & 1 \end{pmatrix}$。正交变换后化为 $3y_1^2+3y_2^2+by_3^2$，故 $A$ 的特征值为 $3,3,b$。令 $\lambda=3$ 代入特征多项式 $\det(\lambda I-A)=0$，得 $\det(3I-A)=0$。计算行列式：$\begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -a \\ 2 & -a & 2 \end{vmatrix} = -2(a+2)^2=0$，解得 $a=-2$。

将 $a=-2$ 代入 $A$，得 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$。计算特征多项式：$\det(\lambda I-A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda-1 & 2 \\ 2 & 2 & \lambda-1 \end{vmatrix}$。通过行和变换：$R_1+R_2+R_3$ 提出 $\lambda+3$，再列变换得 $(\lambda+3)(\lambda-3)^2$。故特征值为 $3$（二重）和 $-3$，所以 $b=-3$。

解 $(3I-A)\boldsymbol{x}=0$，$3I-A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$，化为 $x_1+x_2+x_3=0$。基础解系：$\alpha_1=(-1,1,0)^T$，$\alpha_2=(-1,0,1)^T$。正交化：取 $\beta_1=\alpha_1$，$\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 = (-1,0,1) - \frac{1}{2}(-1,1,0) = (-\frac12, -\frac12, 1)^T$。单位化：$\gamma_1 = (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)^T$，$\gamma_2 = (-\frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}})^T$。

解 $(-3I-A)\boldsymbol{x}=0$，$(-3I-A) = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -4 \end{pmatrix}$，化为 $x_1=x_2=x_3$。基础解系：$\alpha_3=(1,1,1)^T$。单位化：$\gamma_3 = (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})^T$。

正交变换矩阵 $Q$ 由单位正交特征向量构成，按特征值顺序排列：$Q = (\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$。正交变换为 $\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}$。

二次型 $f$ 的特征值为 $3,3,-3$，存在负特征值 $-3$，故 $f$ 不是正定二次型。