安徽师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
三．（10 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r-1}(r \geq 3)$ 线性相关，向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关．证明
（1）向量 $\displaystyle \alpha_{1}$ 可由向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性表出，且表出方式唯一；
（2）向量 $\displaystyle \alpha_{r}$ 不能由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r-1}$ 线性表出．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用线性相关定义得到线性组合
由于向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{r-1}$ 线性相关，根据定义，存在不全为零的系数 $k_1, k_2, \cdots, k_{r-1}$ 使得 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_{r-1} \alpha_{r-1} = 0$。
公式：$k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_{r-1} \alpha_{r-1} = 0$
提示：注意系数不全为零，但可能 $k_1=0$，需要后续讨论。
步骤 2/7
目标：证明 $k_1 \neq 0$
反证：若 $k_1 = 0$，则 $k_2, \cdots, k_{r-1}$ 不全为零，且 $k_2 \alpha_2 + \cdots + k_{r-1} \alpha_{r-1} = 0$。由于 $\alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性无关，其子组 $\alpha_2, \cdots, \alpha_{r-1}$ 也线性无关，矛盾。故 $k_1 \neq 0$。
提示：注意线性无关的向量组的任意子组也线性无关。
步骤 3/7
目标：得到 $\alpha_1$ 的线性表出
由 $k_1 \neq 0$，将原式移项得 $\alpha_1 = -\frac{k_2}{k_1} \alpha_2 - \cdots - \frac{k_{r-1}}{k_1} \alpha_{r-1}$，因此 $\alpha_1$ 可由 $\alpha_2, \cdots, \alpha_{r-1}$ 线性表出，当然也可由 $\alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性表出。
公式：$\alpha_1 = -\frac{k_2}{k_1} \alpha_2 - \cdots - \frac{k_{r-1}}{k_1} \alpha_{r-1}$
提示：注意表出系数是 $\alpha_2$ 到 $\alpha_{r-1}$，但题目要求表出到 $\alpha_r$，实际上 $\alpha_r$ 的系数为0。
步骤 4/7
目标：证明表出方式唯一
设 $\alpha_1 = c_2 \alpha_2 + \cdots + c_r \alpha_r$ 和 $\alpha_1 = d_2 \alpha_2 + \cdots + d_r \alpha_r$，相减得 $(c_2-d_2)\alpha_2 + \cdots + (c_r-d_r)\alpha_r = 0$。由于 $\alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性无关，所有系数为零，即 $c_i = d_i$，故表出唯一。
公式：$(c_2-d_2)\alpha_2 + \cdots + (c_r-d_r)\alpha_r = 0$
提示：唯一性依赖于 $\alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 的线性无关性。
步骤 5/7
目标：用反证法证明（2）
假设 $\alpha_r$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{r-1}$ 线性表出，即存在系数 $l_1, l_2, \cdots, l_{r-1}$ 使得 $\alpha_r = l_1 \alpha_1 + l_2 \alpha_2 + \cdots + l_{r-1} \alpha_{r-1}$。
公式：$\alpha_r = l_1 \alpha_1 + l_2 \alpha_2 + \cdots + l_{r-1} \alpha_{r-1}$
提示：注意假设的线性表出中包含了 $\alpha_1$。
步骤 6/7
目标：代入 $\alpha_1$ 的表达式
由（1）知 $\alpha_1$ 可由 $\alpha_2, \cdots, \alpha_{r-1}$ 线性表出，设 $\alpha_1 = a_2 \alpha_2 + \cdots + a_{r-1} \alpha_{r-1}$，代入假设得 $\alpha_r = l_1(a_2 \alpha_2 + \cdots + a_{r-1} \alpha_{r-1}) + l_2 \alpha_2 + \cdots + l_{r-1} \alpha_{r-1} = m_2 \alpha_2 + \cdots + m_{r-1} \alpha_{r-1}$，其中 $m_i$ 为组合系数。
公式：$\alpha_r = m_2 \alpha_2 + \cdots + m_{r-1} \alpha_{r-1}$
提示：注意 $\alpha_r$ 被表示为 $\alpha_2, \cdots, \alpha_{r-1}$ 的线性组合。
步骤 7/7
目标：导出矛盾
由上式得 $m_2 \alpha_2 + \cdots + m_{r-1} \alpha_{r-1} - \alpha_r = 0$，系数不全为零（因为 $\alpha_r$ 的系数为 $-1$），这与 $\alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性无关矛盾。故假设不成立，$\alpha_r$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{r-1}$ 线性表出。
公式：$m_2 \alpha_2 + \cdots + m_{r-1} \alpha_{r-1} - \alpha_r = 0$
提示：注意线性无关的定义：若组合系数不全为零则向量组线性相关。
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