安徽师范大学 2024年高等代数第0题

设 $J$ 为 $k$ 阶Jordan块，形如 $J = \lambda I + N$，其中 $N$ 是幂零矩阵，其次对角线元素为1，其余为0。

取 $S_1 = \operatorname{diag}(1, -1, 1, -1, \dots)$，即 $S_1$ 是对角线元素为 $(-1)^{i+1}$ 的对角矩阵。$S_1$ 显然对称且可逆，且 $S_1^2 = I$，故 $S_1^{-1} = S_1$。

令 $S_2 = S_1^{-1} J = S_1 J$，则 $J = S_1 S_2$。需验证 $S_2$ 对称，即 $S_2^T = S_2$。由于 $S_2 = S_1 J$，其转置为 $S_2^T = J^T S_1$。因此 $S_2$ 对称当且仅当 $J^T S_1 = S_1 J$。

计算 $J^T S_1 = (\lambda I + N^T) S_1 = \lambda S_1 + N^T S_1$，而 $S_1 J = S_1 (\lambda I + N) = \lambda S_1 + S_1 N$。因此只需验证 $N^T S_1 = S_1 N$。由于 $N$ 的次对角线为1，$N^T$ 的次对角线也为1（但方向相反），而 $S_1$ 是对角矩阵，直接计算可得 $N^T S_1$ 与 $S_1 N$ 均为次对角线元素为 $(-1)^{i+1}$ 的矩阵，故相等。因此 $J^T S_1 = S_1 J$，从而 $S_2$ 对称。

由以上步骤，存在对称矩阵 $S_1$ 和 $S_2$ 使得 $J = S_1 S_2$，且 $S_1$ 可逆。

对于任意 $n$ 阶复方阵 $A$，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P J P^{-1}$，其中 $J$ 是Jordan标准形，即若干个Jordan块的直和：$J = \operatorname{diag}(J_1, J_2, \dots, J_m)$。

由（1），每个Jordan块 $J_i$ 可分解为 $J_i = S_{i1} S_{i2}$，其中 $S_{i1}, S_{i2}$ 是对称矩阵。构造块对角矩阵 $S_1 = \operatorname{diag}(S_{11}, S_{21}, \dots, S_{m1})$，$S_2 = \operatorname{diag}(S_{12}, S_{22}, \dots, S_{m2})$，则 $J = S_1 S_2$，且 $S_1, S_2$ 对称。

代入 $A = P J P^{-1} = P S_1 S_2 P^{-1}$。令 $B = P S_1 P^T$，$C = P^{-T} S_2 P^{-1}$，则 $A = B C$。由于 $B^T = (P S_1 P^T)^T = P S_1^T P^T = P S_1 P^T = B$，$C^T = (P^{-T} S_2 P^{-1})^T = P^{-T} S_2^T P^{-1} = P^{-T} S_2 P^{-1} = C$，故 $B$ 和 $C$ 均为对称矩阵。因此 $A$ 可分解为两个对称矩阵的乘积。