安徽师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
二．（10 分）计 算 行 列 式 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccc}1+a_{1} & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1+a_{2} & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+a_{3} & \cdots & 1 & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1+a_{n-1} & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1+a_{n}\end{array}\right|$ ，其 中 $\displaystyle a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \neq 0$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：列变换：将第2至n列减去第1列
将行列式 $D_n$ 的第2列到第n列都减去第1列，得到
\[
D_n = \begin{vmatrix}
1+a_1 & -a_1 & -a_1 & \cdots & -a_1 & -a_1 \\
1 & a_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 0 & a_3 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} & 0 \\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_n
\end{vmatrix}.
\]
提示：注意第1列元素不变，其他列减去第1列时，第1行元素变为 $-a_1$，其余行对角元变为 $a_i$，非对角元变为0。
步骤 2/6
目标：行变换：将第2至n行减去第1行
将第2行到第n行都减去第1行，得到
\[
D_n = \begin{vmatrix}
1+a_1 & -a_1 & -a_1 & \cdots & -a_1 & -a_1 \\
-a_1 & a_2+a_1 & a_1 & \cdots & a_1 & a_1 \\
-a_1 & a_1 & a_3+a_1 & \cdots & a_1 & a_1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
-a_1 & a_1 & a_1 & \cdots & a_{n-1}+a_1 & a_1 \\
-a_1 & a_1 & a_1 & \cdots & a_1 & a_n+a_1
\end{vmatrix}.
\]
提示：第2行减去第1行时，第1列元素变为 $-a_1$，第2列元素变为 $a_2+a_1$，其他列元素变为 $a_1$。
步骤 3/6
目标：列变换：将第2至n列加到第1列
将第2列到第n列都加到第1列，得到
\[
D_n = \begin{vmatrix}
1+a_1 - (n-1)a_1 & -a_1 & -a_1 & \cdots & -a_1 & -a_1 \\
0 & a_2+a_1 & a_1 & \cdots & a_1 & a_1 \\
0 & a_1 & a_3+a_1 & \cdots & a_1 & a_1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & a_1 & a_1 & \cdots & a_{n-1}+a_1 & a_1 \\
0 & a_1 & a_1 & \cdots & a_1 & a_n+a_1
\end{vmatrix}.
\]
第1列化简为 $1+a_1 - (n-1)a_1 = 1 - (n-2)a_1$。
提示：注意：上述列变换后第1列元素并不统一，因此按第1列展开并不简单。实际上，常见解法是：将行列式拆分成两个行列式的和，或者利用矩阵形式。下面步骤将采用另一种方法。
步骤 4/6
目标：提取公因子并转化为标准形式
由于 $a_1 a_2 \cdots a_n \neq 0$，所有 $a_i \neq 0$。令 $b_i = 1/a_i$，则原行列式乘以 $\prod_{i=1}^n a_i$ 后变为
\[
\prod_{i=1}^n a_i \cdot \begin{vmatrix}
1/a_1+1 & 1/a_1 & \cdots & 1/a_1 \\
1/a_2 & 1/a_2+1 & \cdots & 1/a_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1/a_n & 1/a_n & \cdots & 1/a_n+1
\end{vmatrix} = \prod_{i=1}^n a_i \cdot \begin{vmatrix}
b_1+1 & b_1 & \cdots & b_1 \\
b_2 & b_2+1 & \cdots & b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_n & b_n & \cdots & b_n+1
\end{vmatrix}.
\]
提示：注意：提取公因子时，每行提取 $a_i$，但行列式每行提取一个因子，所以整体乘以 $\prod a_i$。
步骤 5/6
目标：利用矩阵形式计算行列式
记 $\mathbf{1}$ 为 $n$ 维全1列向量，$\mathbf{b}^T = (b_1, b_2, \dots, b_n)$，则上述行列式对应的矩阵为 $I + \mathbf{1} \mathbf{b}^T$，其中 $I$ 是单位矩阵。根据矩阵行列式公式，$\det(I + \mathbf{1} \mathbf{b}^T) = 1 + \mathbf{b}^T \mathbf{1} = 1 + \sum_{i=1}^n b_i$。因此，
\[
\begin{vmatrix}
b_1+1 & b_1 & \cdots & b_1 \\
b_2 & b_2+1 & \cdots & b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_n & b_n & \cdots & b_n+1
\end{vmatrix} = 1 + \sum_{i=1}^n b_i.
\]
公式：$\det(I + uv^T) = 1 + v^T u$
提示：注意公式中 $u$ 和 $v$ 是列向量，这里 $u = \mathbf{1}$，$v = \mathbf{b}$，所以 $v^T u = \sum b_i$。
步骤 6/6
目标：得到最终结果
将 $b_i = 1/a_i$ 代入，得
\[
D_n = \prod_{i=1}^n a_i \left(1 + \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}\right).
\]
提示：注意结果中 $\prod a_i$ 与 $\sum 1/a_i$ 的乘积，不要遗漏。
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