安徽师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
五．（20 分）设 $P$ 是数域，$n$ 是正整数，数域 $P$ 上线性空间
$$
V=\{f(x) \in P[x] \mid \partial(f(x))<n\} \cup\{0\},
$$
定义 $V$ 上的一个线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $\displaystyle \mathcal{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ，其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的一阶微商．
（1）分别求出 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的值域 $\displaystyle \mathcal{A} V$ 与 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}$（0）的一组基与维数；
（2）证明：$\displaystyle V=\mathcal{A} V \oplus \mathcal{A}^{-1}(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：选取基并计算变换作用
取 $V$ 的一组基 $1, x, x^2, \ldots, x^{n-1}$。对于基向量 $x^k$（$k=0,1,\ldots,n-1$），计算 $\mathcal{A}(x^k) = x \cdot k x^{k-1} - x^k = (k-1)x^k$。特别地，$\mathcal{A}(1) = -1$，$\mathcal{A}(x)=0$，$\mathcal{A}(x^k) = (k-1)x^k$ 对 $k\geq 2$。
公式：$\mathcal{A}(x^k) = (k-1)x^k$
提示：注意 $k=0$ 时 $x^0=1$，$k=1$ 时结果为0。
步骤 2/4
目标：求值域的一组基和维数
值域 $\mathcal{A}V = \operatorname{span}\{\mathcal{A}(1), \mathcal{A}(x), \ldots, \mathcal{A}(x^{n-1})\} = \operatorname{span}\{-1, 0, x^2, 2x^3, \ldots, (n-2)x^{n-1}\}$。去掉零向量，并注意到 $-1$ 与 $1$ 只差常数倍，得到一组基：$1, x^2, x^3, \ldots, x^{n-1}$，共 $n-1$ 个向量，故维数为 $n-1$。
提示：注意 $\mathcal{A}(x)=0$ 不贡献基向量，且 $-1$ 可被 $1$ 替代。
步骤 3/4
目标：求核的一组基和维数
核 $\mathcal{A}^{-1}(0) = \{f\in V \mid \mathcal{A}(f)=0\}$。由 $\mathcal{A}(f)=xf'-f=0$ 得 $xf'=f$，解微分方程得 $f(x)=cx$（$c\in P$）。由于 $\partial(f)
公式：$xf' = f$ 的解为 $f=cx$
提示：注意解微分方程时，分离变量或直接观察得出。
步骤 4/4
目标：验证维数之和与直和条件
由（1）知 $\dim V = n$，$\dim \mathcal{A}V = n-1$，$\dim \mathcal{A}^{-1}(0)=1$，故 $\dim \mathcal{A}V + \dim \mathcal{A}^{-1}(0) = n = \dim V$。还需证明 $\mathcal{A}V \cap \mathcal{A}^{-1}(0)=\{0\}$。$\mathcal{A}V$ 的基为 $1, x^2, \ldots, x^{n-1}$，$\mathcal{A}^{-1}(0)$ 的基为 $x$，由于 $x$ 与 $1, x^2, \ldots, x^{n-1}$ 线性无关，故交集只有零向量。因此 $V = \mathcal{A}V \oplus \mathcal{A}^{-1}(0)$。
提示：直和条件：维数之和等于全空间维数且交为零。
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