安徽师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
八．设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=A+B, E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，证明：
（1）$\displaystyle B-E$ 可逆，且 $\displaystyle A B=B A$ ．
（2）若 $A$ 是幂零矩阵（即存在正整数 $k$ ，使 $\displaystyle A^{k}=0$ ），则 $\displaystyle |A+B|=|B|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：推导 $(A-E)(B-E)=E$
由已知 $AB = A + B$，两边同时减去 $A+B$ 得 $AB - A - B = 0$。加上单位矩阵 $E$ 得 $AB - A - B + E = E$，即 $(A-E)(B-E) = E$。
公式：$(A-E)(B-E) = AB - A - B + E = E$
提示：注意 $AB - A - B + E$ 的因式分解，不要遗漏常数项。
步骤 2/7
目标：证明 $B-E$ 可逆且 $AB=BA$
由 $(A-E)(B-E)=E$ 可知 $B-E$ 有左逆 $A-E$，故 $B-E$ 可逆且 $(B-E)^{-1}=A-E$。同时，由逆矩阵的唯一性，$(B-E)(A-E)=E$，展开得 $BA - A - B + E = E$，即 $BA = A+B = AB$，故 $AB=BA$。
公式：$(B-E)(A-E)=E$ 推出 $BA=AB$
提示：可逆矩阵的逆是唯一的，因此左逆也是右逆。
步骤 3/7
目标：用 $A$ 表示 $B$
由 $(A-E)(B-E)=E$ 得 $B-E = (A-E)^{-1}$，所以 $B = E + (A-E)^{-1}$。
公式：$B = E + (A-E)^{-1}$
提示：注意 $(A-E)^{-1}$ 存在是因为 $A-E$ 可逆（由第一步）。
步骤 4/7
目标：分析 $A$ 幂零时 $A-E$ 的特征值
由于 $A$ 是幂零矩阵，存在 $k$ 使得 $A^k=0$，故 $A$ 的特征值全为 $0$。因此 $A-E$ 的特征值全为 $-1$，从而 $(A-E)^{-1}$ 的特征值也全为 $-1$。
公式：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda=0$，故 $A-E$ 的特征值为 $-1$。
提示：幂零矩阵的特征值全为零，这是常用性质。
步骤 5/7
目标：计算 $|B|$
由 $B = E + (A-E)^{-1}$，且 $(A-E)^{-1}$ 的特征值全为 $-1$，故 $B$ 的特征值全为 $1 + (-1) = 0$，所以 $|B| = 0$。
公式：$|B| = \prod \lambda_i = 0$
提示：矩阵的行列式等于特征值的乘积，特征值全为零则行列式为零。
步骤 6/7
目标：计算 $|A+B|$
由 $B = E + (A-E)^{-1}$ 得 $A+B = A + E + (A-E)^{-1}$。由于 $A$ 与 $(A-E)^{-1}$ 可交换（因为 $A$ 与 $A-E$ 可交换），可同时上三角化。设 $P^{-1}AP = J$ 为若尔当形，则 $P^{-1}(A+B)P = J + E + (J-E)^{-1}$。$J$ 的特征值全为 $0$，$(J-E)^{-1}$ 的特征值全为 $-1$，故 $J+E+(J-E)^{-1}$ 的特征值全为 $0+1+(-1)=0$，所以 $|A+B|=0$。
公式：$|A+B| = 0$
提示：可交换矩阵可同时上三角化，这是处理特征值问题的常用技巧。
步骤 7/7
目标：得出结论
由 $|A+B|=0$ 和 $|B|=0$ 得 $|A+B| = |B|$，证毕。
提示：注意等式两边都是零，但需要严格证明。
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