安徽师范大学 2024年高等代数第0题

矩阵 $A$ 的特征矩阵为 $\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & 1 \\ -1 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & -1 & \lambda & -2 \\ 0 & 0 & -1 & \lambda \end{pmatrix}$。

1阶行列式因子 $D_1(\lambda)$：所有1阶子式的最大公因子，有 $\lambda, 0, 1, -1, -2$ 等，最大公因子为 $1$，故 $D_1(\lambda)=1$。 2阶行列式因子 $D_2(\lambda)$：计算所有2阶子式，例如 $\begin{vmatrix} \lambda & 0 \\ -1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^2$，$\begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1$，最大公因子为 $1$，故 $D_2(\lambda)=1$。 3阶行列式因子 $D_3(\lambda)$：计算所有3阶子式，例如 $\begin{vmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ -1 & \lambda & 0 \\ 0 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^3$，$\begin{vmatrix} \lambda & 0 & 1 \\ -1 & \lambda & 0 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = -2\lambda^2+1$，两者互素，最大公因子为 $1$，故 $D_3(\lambda)=1$。 4阶行列式因子 $D_4(\lambda)$：即特征多项式 $\det(\lambda I - A)$，计算得 $\lambda^4 - 2\lambda^2 - 1$。

不变因子 $d_k(\lambda) = D_k(\lambda)/D_{k-1}(\lambda)$，其中 $D_0(\lambda)=1$。 $d_1(\lambda)=D_1(\lambda)=1$， $d_2(\lambda)=D_2(\lambda)/D_1(\lambda)=1$， $d_3(\lambda)=D_3(\lambda)/D_2(\lambda)=1$， $d_4(\lambda)=D_4(\lambda)/D_3(\lambda)=\lambda^4-2\lambda^2-1$。

将 $d_4(\lambda)=\lambda^4-2\lambda^2-1$ 在复数域上分解。令 $t=\lambda^2$，则 $t^2-2t-1=0$，解得 $t=1\pm\sqrt{2}$。所以 $\lambda^2 = 1+\sqrt{2}$ 或 $\lambda^2 = 1-\sqrt{2}$。记 $\alpha = \sqrt{1+\sqrt{2}}$，$\beta = \sqrt{1-\sqrt{2}}$（$\beta$ 为纯虚数），则 $d_4(\lambda) = (\lambda-\alpha)(\lambda+\alpha)(\lambda-\beta)(\lambda+\beta)$。由于因子互异，初等因子即为这些一次因式的幂（指数为1）。

由于不变因子中只有 $d_4(\lambda)$ 非1，且无重根，故最小多项式等于特征多项式，即 $m(\lambda)=\lambda^4-2\lambda^2-1$。

特征值互异，故 $A$ 可对角化，Jordan标准形为对角矩阵，对角元为四个特征值：$\alpha, -\alpha, \beta, -\beta$。即 $J = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\beta \end{pmatrix}$。