安徽师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
四．（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，证明：秩 $\displaystyle (A-E)+$ 秩 $\displaystyle (A+2 E)=n$的充分必要条件是 $\displaystyle A^{2}=A+2 E$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：必要性：利用秩的等价标准形推导
假设 $\operatorname{rank}(A-E)+\operatorname{rank}(A+2E)=n$。则存在可逆矩阵 $P,Q$ 使得 $P(A-E)Q = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$P(A+2E)Q = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix}$，其中 $r = \operatorname{rank}(A-E)$。
提示：注意两个矩阵的秩之和为 $n$，因此它们的标准形可以互补。
步骤 2/8
目标：必要性：推导 $P$ 与 $Q$ 的关系
将两式相加得 $P(3E)Q = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} = I_n$，所以 $3PQ = I_n$，即 $PQ = \frac{1}{3}I_n$，从而 $P$ 和 $Q$ 可逆且互为倍数。
公式：$P(3E)Q = I_n$
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 是相同的可逆矩阵，但这里推导出它们互为逆的常数倍。
步骤 3/8
目标：必要性：计算乘积得零矩阵
计算 $P(A-E)Q \cdot P(A+2E)Q = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} = 0$。由于 $P$ 和 $Q$ 可逆，左乘 $P^{-1}$ 右乘 $Q^{-1}$ 得 $(A-E)(A+2E)=0$。
公式：$(A-E)(A+2E)=0$
提示：注意矩阵乘法顺序，$P(A-E)Q \cdot P(A+2E)Q$ 不等于 $P(A-E)(A+2E)Q$，因为中间有 $QP$ 项，但这里 $QP = \frac{1}{3}I_n$，所以实际上 $P(A-E)Q \cdot P(A+2E)Q = P(A-E)(QP)(A+2E)Q = \frac{1}{3}P(A-E)(A+2E)Q$，因此乘积为零推出 $(A-E)(A+2E)=0$。
步骤 4/8
目标：必要性：得到 $A^2 = A+2E$
展开 $(A-E)(A+2E)=0$ 得 $A^2 + 2A - A - 2E = A^2 + A - 2E = 0$，即 $A^2 = A + 2E$。必要性得证。
公式：$A^2 = A + 2E$
提示：注意展开时不要漏项。
步骤 5/8
目标：充分性：利用 $A^2 = A+2E$ 得乘积为零
若 $A^2 = A+2E$，则 $A^2 + A - 2E = 0$，即 $(A-E)(A+2E)=0$。
公式：$(A-E)(A+2E)=0$
步骤 6/8
目标：充分性：应用 Sylvester 不等式得到上界
由 Sylvester 不等式：$\operatorname{rank}(A-E) + \operatorname{rank}(A+2E) \leq n + \operatorname{rank}((A-E)(A+2E)) = n + 0 = n$。
公式：$\operatorname{rank}(X)+\operatorname{rank}(Y) \leq n + \operatorname{rank}(XY)$
提示：Sylvester 不等式适用于任意两个 $n$ 阶矩阵。
步骤 7/8
目标：充分性：利用 $3E$ 的秩得到下界
注意到 $3E = (A+2E) - (A-E)$，由秩不等式：$\operatorname{rank}(A+2E) + \operatorname{rank}(A-E) \geq \operatorname{rank}(3E) = n$。
公式：$\operatorname{rank}(X+Y) \leq \operatorname{rank}(X) + \operatorname{rank}(Y)$ 的推论
提示：这里用的是 $\operatorname{rank}(X) + \operatorname{rank}(Y) \geq \operatorname{rank}(X-Y)$，因为 $\operatorname{rank}(X-Y) \leq \operatorname{rank}(X) + \operatorname{rank}(Y)$。
步骤 8/8
目标：充分性：结合上下界得等式
由 $\operatorname{rank}(A-E)+\operatorname{rank}(A+2E) \leq n$ 和 $\operatorname{rank}(A-E)+\operatorname{rank}(A+2E) \geq n$，得 $\operatorname{rank}(A-E)+\operatorname{rank}(A+2E)=n$。充分性得证。
提示：注意上下界必须同时成立才能推出等式。
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