山东大学 2024年高等代数第0题

方程组为齐次线性方程组，系数矩阵为： $$A = \begin{pmatrix} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \end{pmatrix}_{n \times n}$$ 计算行列式 $\det(A)$。将第2至第n行加到第1行，得： $$\det(A) = \begin{vmatrix} a+(n-1)b & a+(n-1)b & \cdots & a+(n-1)b \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & \cdots & a \end{vmatrix}$$ 提取第1行公因子 $a+(n-1)b$： $$\det(A) = (a+(n-1)b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & \cdots & a \end{vmatrix}$$ 将第1行的 $-b$ 倍加到其余各行： $$\det(A) = (a+(n-1)b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & a-b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a-b \end{vmatrix} = (a+(n-1)b)(a-b)^{n-1}$$

齐次线性方程组仅有零解当且仅当系数矩阵的行列式不为零，即 $\det(A) \neq 0$；有无穷多解当且仅当 $\det(A) = 0$。 - 当 $a \neq b$ 且 $a \neq -(n-1)b$ 时，$\det(A) \neq 0$，方程组仅有零解。 - 当 $a = b$ 或 $a = -(n-1)b$ 时，$\det(A) = 0$，方程组有无穷多解。

当 $a = b$ 时，系数矩阵所有元素均为 $a$，秩为1。方程组化为： $$a(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0$$ 这是一个线性方程，解空间维数为 $n-1$。取基础解系： $$\xi_1 = (1, -1, 0, \ldots, 0)^T, \quad \xi_2 = (1, 0, -1, \ldots, 0)^T, \quad \ldots, \quad \xi_{n-1} = (1, 0, 0, \ldots, -1)^T$$ 通解为： $$x = c_1 \xi_1 + c_2 \xi_2 + \cdots + c_{n-1} \xi_{n-1}, \quad c_i \in \mathbb{R}$$

当 $a = -(n-1)b$ 时，$a \neq b$（因为 $b \neq 0$，$n \geq 2$），系数矩阵秩为 $n-1$。将 $a = -(n-1)b$ 代入原方程组，第 $i$ 个方程为： $$-(n-1)b x_i + b \sum_{j \neq i} x_j = 0$$ 两边除以 $b$（$b \neq 0$），得： $$-(n-1)x_i + \sum_{j \neq i} x_j = 0 \quad \Rightarrow \quad \sum_{j=1}^n x_j = n x_i$$ 此式对所有 $i$ 成立，因此所有 $x_i$ 相等，设为 $t$，则 $\sum x_j = n t$，代入得 $n t = n t$，恒成立。故解为 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = t$，基础解系为： $$\xi = (1, 1, \ldots, 1)^T$$ 通解为： $$x = c \xi, \quad c \in \mathbb{R}$$

综上所述： - 当 $a \neq b$ 且 $a \neq -(n-1)b$ 时，方程组仅有零解。 - 当 $a = b$ 时，方程组有无穷多解，通解为 $x = c_1 \xi_1 + c_2 \xi_2 + \cdots + c_{n-1} \xi_{n-1}$，其中 $\xi_i$ 如步骤3所示。 - 当 $a = -(n-1)b$ 时，方程组有无穷多解，通解为 $x = c (1,1,\ldots,1)^T$。