山东大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．（15 分）设 $A, B, C$ 分别为 $m \times n, n \times t, s \times m$ 阶矩阵。
（1）若矩阵 $A$ 的秩 $r(A)=r$ ，证明：存在可逆阵 $P, Q$ ，使得 $P A$ 的后 $m-r$ 行全为零，$A Q$ 的后 $n-r$ 列全为零．
（2）利用（1）证明：若 $r(A)=n$ ，则 $r(A B)=r(B)$ ；若 $r(A)=m$ ，则 $r(C A)=r(C)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将A化为标准型
由于$r(A)=r$，存在$m$阶可逆矩阵$P_1$和$n$阶可逆矩阵$Q_1$，使得$P_1 A Q_1 = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：P_1 A Q_1 = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
提示：注意标准型中左上角是$r$阶单位矩阵，其余为零。
步骤 2/5
目标：构造P使得PA后m-r行为零
令$P = P_1$，则$PA = P_1 A = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q_1^{-1}$。设$Q_1^{-1} = \begin{pmatrix} B_{r \times n} \\ C_{(n-r) \times n} \end{pmatrix}$，则$PA = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B \\ C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B \\ 0 \end{pmatrix}$，因此$PA$的后$m-r$行全为零。
公式：PA = \begin{pmatrix} B \\ 0 \end{pmatrix}
提示：注意矩阵乘法时，分块矩阵的乘法规则。
步骤 3/5
目标：构造Q使得AQ后n-r列为零
令$Q = Q_1$，则$AQ = A Q_1 = P_1^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。设$P_1^{-1} = \begin{pmatrix} D_{m \times r} & E_{m \times (m-r)} \end{pmatrix}$，则$AQ = \begin{pmatrix} D & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} D & 0 \end{pmatrix}$，因此$AQ$的后$n-r$列全为零。
公式：AQ = \begin{pmatrix} D & 0 \end{pmatrix}
提示：注意$P_1^{-1}$的分块方式：前$r$列和后$m-r$列。
步骤 4/5
目标：证明若r(A)=n则r(AB)=r(B)
由$r(A)=n$，根据(1)存在可逆阵$P$使得$PA$的后$m-n$行全为零，且$PA$的前$n$行线性无关，即$PA = \begin{pmatrix} A_1 \\ 0 \end{pmatrix}$，其中$A_1$是$n \times n$可逆矩阵。于是$PAB = \begin{pmatrix} A_1 B \\ 0 \end{pmatrix}$。由于$P$可逆，$r(AB)=r(PAB)=r(A_1 B)$。又$A_1$可逆，故$r(A_1 B)=r(B)$。因此$r(AB)=r(B)$。
公式：r(AB)=r(B)
提示：注意$A_1$可逆是因为$A$列满秩，且$PA$的前$n$行构成可逆矩阵。
步骤 5/5
目标：证明若r(A)=m则r(CA)=r(C)
由$r(A)=m$，根据(1)存在可逆阵$Q$使得$AQ$的后$n-m$列全为零，且$AQ$的前$m$列线性无关，即$AQ = \begin{pmatrix} A_2 & 0 \end{pmatrix}$，其中$A_2$是$m \times m$可逆矩阵。于是$CAQ = C \begin{pmatrix} A_2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C A_2 & 0 \end{pmatrix}$。由于$Q$可逆，$r(CA)=r(CAQ)=r(C A_2)$。又$A_2$可逆，故$r(C A_2)=r(C)$。因此$r(CA)=r(C)$。
公式：r(CA)=r(C)
提示：注意$A_2$可逆是因为$A$行满秩，且$AQ$的前$m$列构成可逆矩阵。
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