山东大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3．（10分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$\alpha$ 为 $n$ 维实的列向量，证明：$A^{-1}$ 与 $A+\alpha \alpha^{T}$ 均为正定矩阵，其中 $A^{-1}$ 为 $A$ 的逆矩阵，$\alpha^{T}$ 为 $\alpha$ 的转置。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明A^{-1}对称
由于A正定，则A对称且可逆。由(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = A^{-1}，故A^{-1}对称。
公式：(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}
提示：注意正定矩阵首先是对称的。
步骤 2/7
目标：证明A^{-1}正定：构造二次型
对任意非零向量x∈R^n，令y = A^{-1}x，则y≠0。于是x^T A^{-1} x = (Ay)^T A^{-1} (Ay) = y^T A^T A^{-1} A y。
公式：x = Ay
提示：确保y非零，因为A可逆且x非零。
步骤 3/7
目标：证明A^{-1}正定：化简二次型
由于A对称，A^T = A，故y^T A^T A^{-1} A y = y^T A A^{-1} A y = y^T A y。
公式：A^T = A
提示：注意矩阵乘法顺序，A A^{-1} = I。
步骤 4/7
目标：证明A^{-1}正定：利用A的正定性
因为A正定，且y≠0，所以y^T A y > 0。因此x^T A^{-1} x > 0，故A^{-1}正定。
公式：y^T A y > 0
提示：正定矩阵的定义：对任意非零向量，二次型大于零。
步骤 5/7
目标：证明A+αα^T对称
A对称，αα^T对称，故A+αα^T对称。
公式：(αα^T)^T = αα^T
提示：αα^T是秩1对称矩阵。
步骤 6/7
目标：证明A+αα^T正定：展开二次型
对任意非零向量x∈R^n，x^T (A+αα^T) x = x^T A x + x^T αα^T x = x^T A x + (α^T x)^2。
公式：x^T αα^T x = (α^T x)^2
提示：注意(α^T x)是标量，其平方非负。
步骤 7/7
目标：证明A+αα^T正定：利用A的正定性
由于A正定且x≠0，有x^T A x > 0。而(α^T x)^2 ≥ 0，故x^T (A+αα^T) x > 0。因此A+αα^T正定。
公式：x^T A x > 0
提示：即使α^T x=0，x^T A x仍大于0，所以总和严格大于0。
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