山东大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
4．（15 分）设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & b & -c \\ -b & 0 & a \\ c & -a & 0\end{array}\right)$ 为实矩阵，令 $B=A^{2}+q A+E$ ，其中 $q=a^{2}+b^{2}+c^{2}, E$ 为三阶单位阵。试问：当且仅当 $q$ 为何值时，矩阵 $B$ 是正交矩阵？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算矩阵A的平方
设 $r = a^2 + b^2 + c^2 = q$。计算 $A^2$：
$$A^2 = \begin{pmatrix} -b^2-c^2 & ab & ac \\ ab & -a^2-c^2 & bc \\ ac & bc & -a^2-b^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -r+a^2 & ab & ac \\ ab & -r+b^2 & bc \\ ac & bc & -r+c^2 \end{pmatrix}$$
公式：$A^2 = \begin{pmatrix} -r+a^2 & ab & ac \\ ab & -r+b^2 & bc \\ ac & bc & -r+c^2 \end{pmatrix}$
提示：注意 $b^2+c^2 = r-a^2$ 等替换，避免计算错误。
步骤 2/7
目标：构造矩阵B
由 $B = A^2 + qA + E = A^2 + rA + E$，代入 $A^2$ 和 $A$ 得：
$$B = \begin{pmatrix} -r+a^2+1 & ab+rb & ac-rc \\ ab-rb & -r+b^2+1 & bc+ra \\ ac+rc & bc-ra & -r+c^2+1 \end{pmatrix}$$
公式：$B = A^2 + rA + E$
提示：注意 $A$ 是反对称矩阵，$A^T = -A$，后续会用到。
步骤 3/7
目标：利用正交条件化简
$B$ 正交当且仅当 $B^T B = E$。由于 $A^T = -A$，有 $(A^2)^T = A^2$，$(rA)^T = -rA$，所以
$$B^T B = (A^2 - rA + E)(A^2 + rA + E) = (A^2+E)^2 - (rA)^2 = (A^2+E)^2 - r^2 A^2$$
公式：$B^T B = (A^2+E)^2 - r^2 A^2$
提示：注意符号：$(A^2+E)^2$ 展开时 $A^2$ 与 $E$ 可交换。
步骤 4/7
目标：展开并简化表达式
展开 $(A^2+E)^2 = A^4 + 2A^2 + E$，代入得
$$B^T B = A^4 + 2A^2 + E - r^2 A^2 = A^4 + (2 - r^2)A^2 + E$$
公式：$B^T B = A^4 + (2 - r^2)A^2 + E$
提示：注意合并同类项。
步骤 5/7
目标：利用A的特征值简化A^4
$A$ 的特征多项式为 $\det(\lambda E - A) = \lambda(\lambda^2 + r)$，特征值为 $0, \pm i\sqrt{r}$。故 $A^2$ 的特征值为 $0, -r, -r$，满足 $A^2(A^2 + rE) = 0$，即 $A^4 = -r A^2$。代入得
$$B^T B = -r A^2 + (2 - r^2)A^2 + E = (2 - r - r^2)A^2 + E$$
公式：$A^4 = -r A^2$
提示：利用最小多项式简化，注意 $A^2$ 不是零矩阵时 $A^2$ 非零。
步骤 6/7
目标：解出满足正交条件的r
令 $B^T B = E$，得 $(2 - r - r^2)A^2 = 0$。
- 若 $A=0$，则 $r=0$，此时 $B=E$ 正交。
- 若 $A \neq 0$，则 $A^2 \neq 0$，故 $2 - r - r^2 = 0$，即 $r^2 + r - 2 = 0$，解得 $r=1$ 或 $r=-2$（舍去，因 $r \geq 0$）。
因此 $r=0$ 或 $r=1$。
公式：$2 - r - r^2 = 0$
提示：注意 $r = a^2+b^2+c^2 \geq 0$，故 $r=-2$ 舍去。
步骤 7/7
目标：得出结论
当且仅当 $q = 0$ 或 $q = 1$ 时，矩阵 $B$ 是正交矩阵。
提示：验证 $q=0$ 时 $A=0$，$B=E$ 正交；$q=1$ 时满足条件。
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