山东大学 2024年高等代数第0题

已知 $A, B$ 为 3 阶复方阵，且都只有一个特征值 $\lambda_0$。要证明 $A$ 与 $B$ 相似的充要条件是 $\dim V_{\lambda_0}(A) = \dim V_{\lambda_0}(B)$，其中 $V_{\lambda_0}(A)$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda_0$ 的特征子空间。

若 $A$ 与 $B$ 相似，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = P^{-1} A P$。对于任意 $x \in V_{\lambda_0}(B)$，有 $Bx = \lambda_0 x$，即 $P^{-1} A P x = \lambda_0 x$，左乘 $P$ 得 $A (P x) = \lambda_0 (P x)$，所以 $P x \in V_{\lambda_0}(A)$。反之，若 $y \in V_{\lambda_0}(A)$，则 $P^{-1} y \in V_{\lambda_0}(B)$。因此 $V_{\lambda_0}(B) = P^{-1} V_{\lambda_0}(A)$，从而维数相等。

由于 $A$ 和 $B$ 是3阶复方阵且只有一个特征值 $\lambda_0$，它们的 Jordan 标准形由特征值 $\lambda_0$ 的 Jordan 块组成。Jordan 块的个数等于几何重数 $d = \dim V_{\lambda_0}(A) = \dim V_{\lambda_0}(B)$。因为 $d$ 只能取1,2,3，我们分情况讨论。

若 $d=3$，则几何重数等于代数重数，$A$ 和 $B$ 均可对角化，且特征值只有 $\lambda_0$，所以 $A$ 和 $B$ 都相似于 $\lambda_0 I$，从而 $A$ 与 $B$ 相似。

若 $d=2$，则 Jordan 标准形有两个 Jordan 块：一个2阶块和一个1阶块。即 $J = \begin{pmatrix} \lambda_0 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_0 \end{pmatrix}$。因此 $A$ 和 $B$ 都相似于 $J$，从而 $A$ 与 $B$ 相似。

若 $d=1$，则 Jordan 标准形只有一个3阶 Jordan 块，即 $J = \begin{pmatrix} \lambda_0 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_0 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_0 \end{pmatrix}$。因此 $A$ 和 $B$ 都相似于 $J$，从而 $A$ 与 $B$ 相似。

由必要性知，若 $A$ 与 $B$ 相似，则特征子空间维数相等；由充分性知，若特征子空间维数相等，则 $A$ 与 $B$ 有相同的 Jordan 标准形，从而相似。因此，$A$ 与 $B$ 相似的充要条件是 $\dim V_{\lambda_0}(A) = \dim V_{\lambda_0}(B)$。