山东大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
6．（20 分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$W_{1}, W_{2}$ 是 $V$ 的子空间，且 $\operatorname{dim} W_{1}=s<\operatorname{dim} W_{2}=t$ ．证明：
（1）存在 $\beta \in W_{2}, \beta \neq 0$ ，而 $\left(\beta, W_{1}\right)=0$ ，且 $\operatorname{dim}\left(W_{1}^{\perp} \cap W_{2}\right) \geq t-s$ ．
（2） $\operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}^{\perp}\right) \leq n-t+s$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$W_1, W_2$ 是子空间，且 $\dim W_1 = s < \dim W_2 = t$。
提示：注意维数大小关系，$s < t$。
步骤 2/6
目标：考虑正交补空间
考虑 $W_1$ 的正交补 $W_1^\perp$，其维数为 $\dim W_1^\perp = n - s$。
公式：$\dim W_1^\perp = n - \dim W_1 = n - s$
提示：欧氏空间中，子空间与其正交补的维数之和为 $n$。
步骤 3/6
目标：应用维数公式求交空间维数
由维数公式：$\dim(W_1^\perp \cap W_2) = \dim W_1^\perp + \dim W_2 - \dim(W_1^\perp + W_2)$。由于 $W_1^\perp + W_2 \subseteq V$，故 $\dim(W_1^\perp + W_2) \leq n$，因此 $\dim(W_1^\perp \cap W_2) \geq (n-s) + t - n = t - s$。
公式：$\dim(U \cap W) = \dim U + \dim W - \dim(U+W)$
提示：注意不等式方向：$\dim(U+W) \leq n$ 导致下界。
步骤 4/6
目标：证明存在非零向量
由于 $\dim(W_1^\perp \cap W_2) \geq t-s > 0$（因为 $t > s$），故 $W_1^\perp \cap W_2$ 非零，存在非零向量 $\beta \in W_1^\perp \cap W_2$，即 $\beta \in W_2$，$\beta \neq 0$，且 $\beta \perp W_1$，即 $(\beta, W_1)=0$。
提示：维数大于0保证存在非零向量。
步骤 5/6
目标：证明第二部分的不等式
考虑子空间 $W_1 + W_2^\perp$。由维数公式：$\dim(W_1 + W_2^\perp) = \dim W_1 + \dim W_2^\perp - \dim(W_1 \cap W_2^\perp)$。
公式：$\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$
提示：注意这里是和空间的维数公式。
步骤 6/6
目标：代入维数并放缩
已知 $\dim W_1 = s$，$\dim W_2^\perp = n - t$，且 $\dim(W_1 \cap W_2^\perp) \geq 0$，因此 $\dim(W_1 + W_2^\perp) \leq s + (n - t) = n - t + s$。
提示：减去非负数得到上界，注意不等式方向。
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