山东大学 2024年高等代数第0题

将方程写成标准形式： \[ M(x,y) \, dx + N(x,y) \, dy = 0, \] 其中 \[ M = y + x^3 y + 2x^2, \quad N = x + 4xy^4 + 8y^3. \] 计算偏导数： \[ \frac{\partial M}{\partial y} = 1 + x^3, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 4y^4. \] 由于 \(\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}\)，方程不是恰当的。

计算 \(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} = (1+x^3) - (1+4y^4) = x^3 - 4y^4\)。 考虑积分因子 \(\mu\) 只与 \(x\) 或 \(y\) 有关。 若 \(\mu = \mu(x)\)，则需 \(\frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}\right)\) 仅与 \(x\) 有关，但 \(\frac{x^3 - 4y^4}{x + 4xy^4 + 8y^3}\) 含有 \(y\)，故不是。 若 \(\mu = \mu(y)\)，则需 \(-\frac{1}{M}\left(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}\right)\) 仅与 \(y\) 有关，但 \(-\frac{x^3 - 4y^4}{y + x^3 y + 2x^2}\) 含有 \(x\)，也不成立。

将方程重写为： \[ (y \, dx + x \, dy) + (x^3 y \, dx + 4xy^4 \, dy) + (2x^2 \, dx + 8y^3 \, dy) = 0. \] 注意到第一组 \(y \, dx + x \, dy = d(xy)\)。 第三组 \(2x^2 \, dx + 8y^3 \, dy = d\left(\frac{2}{3}x^3 + 2y^4\right)\)。 第二组尝试与第一组结合：将方程写为 \[ d(xy) + x^2 (xy+2) \, dx + 4y^3 (xy+2) \, dy = 0. \]

令 \(u = xy\)，则 \(du = y \, dx + x \, dy\)。 令 \(v = \frac{x^3}{3} + y^4\)，则 \(dv = x^2 \, dx + 4y^3 \, dy\)。 于是方程化为： \[ du + (u+2) \, dv = 0. \]

方程 \(du + (u+2) \, dv = 0\) 是可分离变量的： \[ \frac{du}{u+2} + dv = 0. \] 两边积分： \[ \int \frac{du}{u+2} + \int dv = C, \] 得 \[ \ln|u+2| + v = C. \]

将 \(u = xy\) 和 \(v = \frac{x^3}{3} + y^4\) 代回： \[ \ln|xy+2| + \frac{x^3}{3} + y^4 = C. \] 这就是原方程的通解。