山东大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．（10 分）求方程 $\left(y^{\prime}\right)^{3}+y^{3}-3 y y^{\prime}=0$ 的通解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入参数并化简方程
令 $p = y'$，则原方程化为 $p^3 + y^3 - 3yp = 0$。这是一个关于 $p$ 的三次方程，不易直接求解。考虑参数化，设 $y = t p$，其中 $t$ 为参数。代入方程得 $p^3 + t^3 p^3 - 3t p^2 = p^2(p + t^3 p - 3t) = 0$。
公式：$p^3 + y^3 - 3yp = 0$
提示：注意参数化时 $t$ 是 $x$ 的函数，但暂时视为参数。
步骤 2/7
目标：讨论 $p=0$ 的情况
若 $p=0$，则 $y'=0$，$y=C$（常数）。代入原方程得 $0 + C^3 - 0 = 0$，所以 $C=0$，即 $y=0$ 是一个特解。
提示：不要遗漏 $p=0$ 的情况，它对应常数解。
步骤 3/7
目标：参数化表示 $p$ 和 $y$
若 $p \neq 0$，则由 $p + t^3 p - 3t = 0$ 得 $p(1+t^3) = 3t$，即 $p = \frac{3t}{1+t^3}$。又 $y = t p = \frac{3t^2}{1+t^3}$。
公式：$p = \frac{3t}{1+t^3}, \quad y = \frac{3t^2}{1+t^3}$
提示：注意 $1+t^3 \neq 0$，即 $t \neq -1$。
步骤 4/7
目标：计算 $dy/dt$
对 $y = \frac{3t^2}{1+t^3}$ 关于 $t$ 求导：
$$\frac{dy}{dt} = \frac{6t(1+t^3) - 3t^2 \cdot 3t^2}{(1+t^3)^2} = \frac{6t + 6t^4 - 9t^4}{(1+t^3)^2} = \frac{6t - 3t^4}{(1+t^3)^2} = \frac{3t(2 - t^3)}{(1+t^3)^2}.$$
公式：$\frac{dy}{dt} = \frac{3t(2-t^3)}{(1+t^3)^2}$
提示：求导时注意使用商的导数公式，并化简。
步骤 5/7
目标：建立 $dx/dt$ 的表达式
由 $p = \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ 得 $\frac{dx}{dt} = \frac{dy/dt}{p} = \frac{\frac{3t(2-t^3)}{(1+t^3)^2}}{\frac{3t}{1+t^3}} = \frac{3t(2-t^3)}{(1+t^3)^2} \cdot \frac{1+t^3}{3t} = \frac{2-t^3}{1+t^3}$。因此 $dx = \frac{2-t^3}{1+t^3} dt$。
公式：$\frac{dx}{dt} = \frac{2-t^3}{1+t^3}$
提示：注意 $p$ 的表达式代入时要约分。
步骤 6/7
目标：积分求 $x$ 关于 $t$ 的表达式
积分得 $x = \int \frac{2-t^3}{1+t^3} dt = \int \left( -1 + \frac{3}{1+t^3} \right) dt = -t + 3 \int \frac{dt}{1+t^3}$。
计算 $\int \frac{dt}{1+t^3}$：分解 $\frac{1}{1+t^3} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1+t} + \frac{2-t}{1-t+t^2} \right)$。
所以 $\int \frac{dt}{1+t^3} = \frac{1}{3} \ln|1+t| + \frac{1}{3} \int \frac{2-t}{1-t+t^2} dt$。
计算 $\int \frac{2-t}{1-t+t^2} dt$：分母配方 $1-t+t^2 = (t-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$，分子 $2-t = -(t-\frac{1}{2}) + \frac{3}{2}$，则
$$\int \frac{2-t}{1-t+t^2} dt = -\frac{1}{2} \ln(1-t+t^2) + \sqrt{3} \arctan\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right).$$
因此 $\int \frac{dt}{1+t^3} = \frac{1}{3} \ln|1+t| - \frac{1}{6} \ln(1-t+t^2) + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right) + C$。
代入得 $x = -t + \ln|1+t| - \frac{1}{2} \ln(1-t+t^2) + \sqrt{3} \arctan\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right) + C$。
公式：$x = -t + \ln|1+t| - \frac{1}{2} \ln(1-t+t^2) + \sqrt{3} \arctan\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right) + C$
提示：积分时注意有理函数分解和三角换元，不要遗漏常数 $C$。
步骤 7/7
目标：写出通解形式
综合以上，原方程的通解为参数形式：
$$\begin{cases} x = -t + \ln|1+t| - \frac{1}{2} \ln(1-t+t^2) + \sqrt{3} \arctan\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right) + C, \\ y = \frac{3t^2}{1+t^3}, \end{cases}$$
其中 $t$ 为参数，$C$ 为任意常数。另外，$y=0$ 是一个特解。
提示：参数 $t$ 的取值范围需满足 $1+t^3 \neq 0$，且 $t$ 可任意取值（除 $-1$ 外）。
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