山东大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3．（10 分）试证若 $y=\varphi(x)$ 是方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=p(x) \sin y$ 的满足初试条件 $\varphi(0)=0$ 的解，则 $\varphi(x) \equiv 0$ ，其中 $p(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别平凡解
观察方程 $\frac{dy}{dx}=p(x)\sin y$，注意到当 $y\equiv 0$ 时，$\sin y=0$，因此 $\frac{dy}{dx}=0$，满足方程。且 $y(0)=0$，所以 $y(x)\equiv 0$ 是初值问题的一个解。
提示：不要忽略平凡解的存在性，这是证明唯一性的基础。
步骤 2/4
目标：验证解的唯一性条件
考虑函数 $f(x,y)=p(x)\sin y$。由于 $p(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，故在任意有限区间 $[-a,a]$ 上，$p(x)$ 有界，设 $|p(x)|\leq M$。对于任意 $y_1,y_2$，有 $|\sin y_1-\sin y_2|\leq |y_1-y_2|$（由拉格朗日中值定理或三角不等式）。因此 $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq |p(x)||y_1-y_2|\leq M|y_1-y_2|$，即 $f$ 关于 $y$ 满足局部 Lipschitz 条件。
公式：|\sin y_1-\sin y_2|\leq |y_1-y_2|
提示：注意 Lipschitz 常数依赖于区间，但局部 Lipschitz 条件足以保证唯一性。
步骤 3/4
目标：应用 Picard 存在唯一性定理
由 Picard 存在唯一性定理，对于初值问题 $\frac{dy}{dx}=f(x,y), y(0)=0$，若 $f$ 在某个矩形区域内连续且关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件，则解存在且唯一。这里 $f$ 在任意有限区间上满足条件，因此解在 $(-\infty,+\infty)$ 上存在且唯一。
提示：Picard 定理要求 Lipschitz 条件在矩形区域内一致成立，这里局部 Lipschitz 条件足以保证整体唯一性，因为解可以延拓。
步骤 4/4
目标：结合平凡解与唯一性得出结论
由于 $y(x)\equiv 0$ 是一个解，且解唯一，因此任何满足 $\varphi(0)=0$ 的解 $\varphi(x)$ 都必须等于 $0$，即 $\varphi(x)\equiv 0$。
提示：唯一性意味着所有解在定义域内重合，因此只能有零解。
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