山东大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
4．（20 分）设 $t>0, x, y$ 是关于 $t$ 的函数，解方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
t x^{\prime}-x-y=0 \\
t y^{\prime}+x-y=0
\end{array}\right.
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将方程组写成矩阵形式
给定方程组：
$$
\left\{\begin{array}{l}
t x^{\prime}-x-y=0 \\
t y^{\prime}+x-y=0
\end{array}\right.
$$
移项得：
$$
\begin{cases}
t x' = x + y \\
t y' = -x + y
\end{cases}
$$
写成矩阵形式：
$$
\begin{pmatrix} t x' \\ t y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
$$
令 $\mathbf{z} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$，$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$，则 $t \mathbf{z}' = A \mathbf{z}$。
公式：t \mathbf{z}' = A \mathbf{z}
提示：注意将方程化为标准形式，确保系数矩阵正确。
步骤 2/6
目标：求解系数矩阵的特征值
计算矩阵 $A$ 的特征值，解特征方程 $\det(A - \lambda I) = 0$：
$$
\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 \\ -1 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)^2 + 1 = 0
$$
解得 $(1-\lambda)^2 = -1$，即 $1-\lambda = \pm i$，所以特征值为 $\lambda = 1 \pm i$。
公式：\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)^2 + 1 = 0
提示：注意特征方程是二次的，解出共轭复根。
步骤 3/6
目标：求特征向量
对于 $\lambda = 1+i$，解 $(A - (1+i)I)\mathbf{v} = 0$：
$$
\begin{pmatrix} -i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = 0
$$
由第一行得 $-i v_1 + v_2 = 0$，即 $v_2 = i v_1$。取 $v_1 = 1$，则 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$。对于 $\lambda = 1-i$，特征向量为共轭 $\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$。
公式：(A - \lambda I)\mathbf{v} = 0
提示：只需计算一个特征向量，另一个取共轭。
步骤 4/6
目标：构造复值解
对于欧拉型方程 $t \mathbf{z}' = A \mathbf{z}$，设解为 $\mathbf{z} = t^\lambda \mathbf{v}$，代入得 $\lambda t^\lambda \mathbf{v} = A t^\lambda \mathbf{v}$，即 $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$，所以 $\lambda$ 为特征值，$\mathbf{v}$ 为特征向量。因此复值解为：
$$
\mathbf{z} = t^{1+i} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} = t \cdot t^i \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} = t e^{i \ln t} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}
$$
公式：\mathbf{z} = t^\lambda \mathbf{v}
提示：注意 $t^i = e^{i \ln t}$，利用欧拉公式展开。
步骤 5/6
目标：取实部和虚部得到实值解
将复值解展开：
$$
t e^{i \ln t} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} = t (\cos(\ln t) + i \sin(\ln t)) \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} \cos(\ln t) + i \sin(\ln t) \\ i \cos(\ln t) - \sin(\ln t) \end{pmatrix}
$$
实部：$t \begin{pmatrix} \cos(\ln t) \\ -\sin(\ln t) \end{pmatrix}$，虚部：$t \begin{pmatrix} \sin(\ln t) \\ \cos(\ln t) \end{pmatrix}$。这两个线性无关的实值解构成基础解系。
公式：e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
提示：注意虚部取系数时，通常取虚部本身作为解，但需确保线性无关。
步骤 6/6
目标：写出通解
通解为两个实值解的线性组合：
$$
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = C_1 t \begin{pmatrix} \cos(\ln t) \\ -\sin(\ln t) \end{pmatrix} + C_2 t \begin{pmatrix} \sin(\ln t) \\ \cos(\ln t) \end{pmatrix}
$$
其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。写成标量形式：
$$
\begin{cases}
x(t) = t\left(C_1 \cos(\ln t) + C_2 \sin(\ln t)\right) \\
y(t) = t\left(-C_1 \sin(\ln t) + C_2 \cos(\ln t)\right)
\end{cases}
$$
提示：注意常数任意性，最终答案应包含两个任意常数。
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