广西民族大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
一（15 分）、若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 不全为零，且 $\displaystyle u(x) f(x)+v(x) g(x)=(f(x), g(x))$ ，则 $\displaystyle (u(x), v(x))=1$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设最大公因式并写出等式
设 $d(x) = (f(x), g(x))$，则存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $u(x) f(x) + v(x) g(x) = d(x)$。
公式：u(x) f(x) + v(x) g(x) = d(x)
提示：注意 $d(x)$ 是首一多项式，且 $f,g$ 不全为零保证 $d(x) \neq 0$。
步骤 2/5
目标：将 $f,g$ 用 $d$ 表示
由于 $d(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的最大公因式，存在多项式 $a(x), b(x)$ 使得 $f(x) = d(x) a(x)$，$g(x) = d(x) b(x)$，且 $(a(x), b(x)) = 1$。
公式：f = d a, g = d b, (a,b)=1
提示：这里 $a,b$ 互素是关键，由最大公因式的性质保证。
步骤 3/5
目标：代入等式并约去 $d(x)$
将 $f,g$ 的表达式代入 $u(x) f(x) + v(x) g(x) = d(x)$ 得 $u(x) d(x) a(x) + v(x) d(x) b(x) = d(x)$。由于 $d(x) \neq 0$，两边约去 $d(x)$ 得 $u(x) a(x) + v(x) b(x) = 1$。
公式：u a + v b = 1
提示：约去 $d(x)$ 时需注意 $d(x)$ 非零，且多项式除法是合法的。
步骤 4/5
目标：证明 $u$ 和 $v$ 互素
假设存在多项式 $h(x)$ 是 $u(x)$ 和 $v(x)$ 的公因式，即 $u(x) = h(x) u_1(x)$，$v(x) = h(x) v_1(x)$。代入 $u a + v b = 1$ 得 $h(x) (u_1(x) a(x) + v_1(x) b(x)) = 1$。因此 $h(x)$ 是常数多项式（可逆元），故 $(u(x), v(x)) = 1$。
公式：h (u_1 a + v_1 b) = 1
提示：注意多项式环中可逆元是非零常数，所以 $h(x)$ 只能是常数。
步骤 5/5
目标：结论
因此，$(u(x), v(x)) = 1$，即 $u(x)$ 与 $v(x)$ 互素。
提示：结论直接由步骤4得出。
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