广西民族大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
九（20 分）、设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle f, g$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $f$ 有 $n$ 个互异的特征根，证明 $\displaystyle \mathrm{fg}=\mathrm{gf}$ 当且仅当 g 是 $\displaystyle \mathrm{f}^{0}=\mathrm{I}, \mathrm{f}, \mathrm{f}^{2}, \cdots, \mathrm{f}^{\mathrm{n}-1}$ 的线性组合
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用特征值互异得到可对角化
设 $f$ 有 $n$ 个互异的特征根 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，则 $f$ 可对角化，且存在一组基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 使得 $f(\alpha_i)=\lambda_i\alpha_i$。
提示：注意特征值互异保证每个特征子空间是一维的，这是后续推导的关键。
步骤 2/6
目标：必要性：由交换性推出 $\alpha_i$ 也是 $g$ 的特征向量
若 $fg=gf$，则对每个特征向量 $\alpha_i$，有 $f(g(\alpha_i))=g(f(\alpha_i))=\lambda_i g(\alpha_i)$，故 $g(\alpha_i)$ 也是 $f$ 属于 $\lambda_i$ 的特征向量。由于特征值互异，特征子空间是一维的，所以 $g(\alpha_i)=\mu_i\alpha_i$，即 $\alpha_i$ 也是 $g$ 的特征向量。
公式：f(g(\alpha_i)) = \lambda_i g(\alpha_i)
提示：注意这里利用了 $f$ 的特征子空间是一维的，因此 $g(\alpha_i)$ 必须与 $\alpha_i$ 共线。
步骤 3/6
目标：必要性：构造多项式使得 $p(\lambda_i)=\mu_i$
由于 $\lambda_i$ 互异，Vandermonde 矩阵可逆，存在多项式 $p(x)$ 次数 $\le n-1$ 使得 $p(\lambda_i)=\mu_i$。令 $p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$，则 $p(f)(\alpha_i)=p(\lambda_i)\alpha_i=\mu_i\alpha_i$。
公式：p(\lambda_i) = \mu_i
提示：Vandermonde 矩阵可逆是保证存在性，注意多项式次数不超过 $n-1$。
步骤 4/6
目标：必要性：证明 $g=p(f)$
由于 $p(f)(\alpha_i)=\mu_i\alpha_i=g(\alpha_i)$ 对所有 $i$ 成立，且 $\{\alpha_i\}$ 是基，所以 $g=p(f)=a_0I+a_1f+\cdots+a_{n-1}f^{n-1}$。
公式：g = p(f)
提示：这里用到了线性变换在基上的作用决定整个变换。
步骤 5/6
目标：充分性：若 $g$ 是 $f$ 的多项式，则交换性成立
若 $g$ 是 $I,f,\dots,f^{n-1}$ 的线性组合，即 $g=p(f)$，则 $fg=fp(f)=p(f)f=gf$，因为 $f$ 与自身的多项式可交换。
公式：fg = f p(f) = p(f) f = gf
提示：注意 $f$ 与 $f^k$ 显然可交换，因此与线性组合也可交换。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，$fg=gf$ 当且仅当 $g$ 是 $I,f,\dots,f^{n-1}$ 的线性组合。
提示：注意 $n$ 个互异特征根的条件是必要的，否则结论不成立。
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