广西民族大学 2008年高等代数第0题

设所求 $n$ 阶行列式为 $D_n$。观察行列式，其主对角线元素均为 2，次对角线（上方）元素均为 3，左下角元素为 3，其余元素为 0。这是一个循环矩阵，适合用展开法递推。

按第一列展开 $D_n$，第一列有两个非零元素：$a_{11}=2$ 和 $a_{n1}=3$。 $$D_n = 2 \cdot (-1)^{1+1} M_{11} + 3 \cdot (-1)^{n+1} M_{n1} = 2 M_{11} + (-1)^{n+1} \cdot 3 M_{n1},$$ 其中 $M_{11}$ 是去掉第1行第1列后的 $(n-1)$ 阶子式，$M_{n1}$ 是去掉第 $n$ 行第1列后的 $(n-1)$ 阶子式。

$M_{11}$ 是去掉第1行第1列后得到的 $(n-1)$ 阶行列式： $$M_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 3 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 2 & 3 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 2 \end{vmatrix}_{(n-1)}$$ 这是一个下三角行列式（主对角线元素均为2，上方有3，但下方全零），其值等于主对角线元素的乘积： $$M_{11} = 2^{n-1}.$$

$M_{n1}$ 是去掉第 $n$ 行第1列后得到的 $(n-1)$ 阶行列式： $$M_{n1} = \begin{vmatrix} 3 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 2 & 3 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 2 & 3 \end{vmatrix}_{(n-1)}$$ 这个行列式第一行只有第一个元素非零，因此按第一行展开： $$M_{n1} = 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & \cdots & 0 & 0 \\ 2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 2 & 3 \end{vmatrix}_{(n-2)}$$ 重复此过程，每次按第一行展开，得到 $3^{n-1}$。

由上述展开，$M_{n1}$ 是一个 $(n-1)$ 阶行列式，其结构类似，每次按第一行展开，得到 $3$ 乘以一个 $(n-2)$ 阶同构行列式，最终结果为 $3^{n-1}$。

将 $M_{11}=2^{n-1}$ 和 $M_{n1}=3^{n-1}$ 代入第一步的展开式： $$D_n = 2 \cdot 2^{n-1} + (-1)^{n+1} \cdot 3 \cdot 3^{n-1} = 2^n + (-1)^{n+1} 3^n.$$

因此，$n$ 阶行列式的值为： $$D_n = 2^n + (-1)^{n+1} 3^n.$$