广西民族大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
五（15 分）、设 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=X^{\prime} A X$ 是一实二次型，若有实 $n$ 维向量 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 使得 $\displaystyle \mathrm{X}_{1}^{\prime} \mathrm{AX}_{1}>0, \mathrm{X}_{2}^{\prime} \mathrm{AX}_{2}<0$ 。证明存在非零实 n 维向量 $\displaystyle \mathrm{X}_{3}$ 使得 $\displaystyle \mathrm{X}_{3}^{\prime} \mathrm{AX}_{3}=0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与已知条件
设 $f(X)=X'AX$ 是实二次型，其中 $A$ 是实对称矩阵。已知存在实向量 $X_1, X_2$ 使得 $f(X_1)>0$ 且 $f(X_2)<0$。需要证明存在非零实向量 $X_3$ 使得 $f(X_3)=0$。
提示：注意 $X_1$ 和 $X_2$ 是给定的，不一定线性无关，但由 $f(X_1)>0$ 和 $f(X_2)<0$ 可推出它们线性无关（否则若 $X_1=kX_2$，则 $f(X_1)=k^2 f(X_2)$，与一正一负矛盾）。
步骤 2/6
目标：构造连续函数
考虑连接 $X_2$ 和 $X_1$ 的线段上的点：$X(t)=tX_1+(1-t)X_2$，其中 $t\in[0,1]$。定义函数 $\varphi(t)=f(X(t))$。由于 $f$ 是二次型，$\varphi(t)$ 是关于 $t$ 的连续函数。
公式：$\varphi(t)=f(tX_1+(1-t)X_2)$
提示：二次型是多项式函数，因此连续。
步骤 3/6
目标：计算端点函数值
计算 $\varphi(0)=f(X_2)<0$，$\varphi(1)=f(X_1)>0$。
公式：$\varphi(0)=f(X_2)<0$，$\varphi(1)=f(X_1)>0$
提示：注意 $X(0)=X_2$，$X(1)=X_1$。
步骤 4/6
目标：应用介值定理
由于 $\varphi(t)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\varphi(0)<0$，$\varphi(1)>0$，由介值定理，存在 $t_0\in(0,1)$ 使得 $\varphi(t_0)=0$。
公式：介值定理：若连续函数 $\varphi$ 在区间端点取值异号，则存在内点使得函数值为零。
提示：介值定理要求函数连续且区间闭。
步骤 5/6
目标：构造向量 $X_3$
令 $X_3=t_0X_1+(1-t_0)X_2$，则 $X_3$ 是非零实向量（因为 $X_1$ 与 $X_2$ 线性无关，且 $t_0\in(0,1)$，所以 $X_3$ 不是零向量）。且 $f(X_3)=\varphi(t_0)=0$。
公式：$X_3=t_0X_1+(1-t_0)X_2$
提示：需要说明 $X_3$ 非零：若 $X_1$ 与 $X_2$ 线性相关，则矛盾，故它们线性无关，从而 $X_3$ 非零。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，存在非零实向量 $X_3$ 使得 $X_3'AX_3=0$。证毕。
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