广西民族大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
八（15 分）、设 $B$ 为一 $\displaystyle r \times r$ 矩阵，$C$ 为一 $\displaystyle r \times n$ 矩阵，且秩（ $C$ ）$\displaystyle =r$ ，证明：1）若 $\displaystyle B C=0$ ，则 $\displaystyle \mathrm{B}=0$ ；2）若 $\displaystyle \mathrm{BC}=\mathrm{C}$ ，则 $\displaystyle \mathrm{B}=\mathrm{E}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知 $B$ 是 $r \times r$ 矩阵，$C$ 是 $r \times n$ 矩阵，且 $\operatorname{rank}(C)=r$，$BC=0$。由于 $\operatorname{rank}(C)=r$，$C$ 的行向量组线性无关，且 $C$ 有 $r$ 行，所以 $C$ 的行向量是 $\mathbb{R}^r$ 的一组基。
提示：注意秩为 $r$ 意味着行满秩，行向量线性无关。
步骤 2/6
目标：将矩阵乘法转化为线性变换
考虑线性映射 $C: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^r$，$x \mapsto Cx$。由于 $\operatorname{rank}(C)=r$，$C$ 是满射，即对任意 $y \in \mathbb{R}^r$，存在 $x \in \mathbb{R}^n$ 使得 $Cx=y$。
提示：满射的证明：行满秩矩阵的列空间是 $\mathbb{R}^r$。
步骤 3/6
目标：利用条件推导B为零矩阵
由 $BC=0$，对任意 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $B(Cx)=0$。由于 $C$ 是满射，对任意 $y \in \mathbb{R}^r$，存在 $x$ 使得 $Cx=y$，从而 $By=0$。因此 $B$ 将每个 $y$ 映射为 $0$，故 $B=0$。
公式：$BC=0 \Rightarrow B(Cx)=0 \; \forall x$
提示：注意 $By=0$ 对所有 $y$ 成立才推出 $B=0$。
步骤 4/6
目标：证明第二部分的条件转化
已知 $BC=C$，即 $BC - C = 0$，整理得 $(B - E)C = 0$，其中 $E$ 是 $r \times r$ 单位矩阵。
公式：$BC=C \Rightarrow (B-E)C=0$
提示：注意矩阵乘法分配律。
步骤 5/6
目标：应用第一部分结论
由第一部分结论，若 $(B-E)C=0$ 且 $\operatorname{rank}(C)=r$，则 $B-E=0$，即 $B=E$。
提示：直接使用第一部分结论，注意条件相同。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，1) 若 $BC=0$，则 $B=0$；2) 若 $BC=C$，则 $B=E$。
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