广西民族大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
六（15 分）、求由向量 $\displaystyle \alpha_{\mathrm{i}}$ 生成的子空间与由向量 $\displaystyle \beta_{\mathrm{i}}$ 生成的子空间的交的基和维数，设
$$
\left\{\begin{array}{l}
\alpha_{1}=(1,2,1,0) \\
\alpha_{2}=(-1,1,1,1)
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
\beta_{1}=(2,-1,0,1) \\
\beta_{2}=(1,-1,3,7)
\end{array}\right.\right.
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解问题并设变量
设 $V_1 = \operatorname{span}\{\alpha_1, \alpha_2\}$, $V_2 = \operatorname{span}\{\beta_1, \beta_2\}$，求 $V_1 \cap V_2$ 的基和维数。设 $\xi \in V_1 \cap V_2$，则存在数 $x_1, x_2, y_1, y_2$ 使得 $\xi = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 = y_1 \beta_1 + y_2 \beta_2$。
提示：注意交空间中的向量可以分别由两组基线性表示，因此需要找到同时满足两个线性组合的系数。
步骤 2/8
目标：建立齐次线性方程组
由 $x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 - y_1 \beta_1 - y_2 \beta_2 = 0$，代入向量坐标得方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 - x_2 - 2y_1 - y_2 = 0 \\
2x_1 + x_2 + y_1 + y_2 = 0 \\
x_1 + x_2 - 3y_2 = 0 \\
x_2 - y_1 - 7y_2 = 0
\end{cases}
$$
写出系数矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
2 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & -3 \\
0 & 1 & -1 & -7
\end{pmatrix}
$$
提示：移项时注意符号，将 $\beta$ 的系数变为负号。
步骤 3/8
目标：行化简系数矩阵（第一部分）
对矩阵进行初等行变换：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
2 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & -3 \\
0 & 1 & -1 & -7
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2-2R_1}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
0 & 3 & 5 & 3 \\
1 & 1 & 0 & -3 \\
0 & 1 & -1 & -7
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_3-R_1}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
0 & 3 & 5 & 3 \\
0 & 2 & 2 & -2 \\
0 & 1 & -1 & -7
\end{pmatrix}
$$
提示：行变换时注意保持矩阵等价，避免计算错误。
步骤 4/8
目标：行化简系数矩阵（第二部分）
继续行变换：
$$
\xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_4}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & -7 \\
0 & 2 & 2 & -2 \\
0 & 3 & 5 & 3
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_3-2R_2}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & -7 \\
0 & 0 & 4 & 12 \\
0 & 3 & 5 & 3
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_4-3R_2}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & -7 \\
0 & 0 & 4 & 12 \\
0 & 0 & 8 & 24
\end{pmatrix}
$$
提示：交换行时注意不要遗漏，保持矩阵形状。
步骤 5/8
目标：行化简系数矩阵（第三部分）
继续化简：
$$
\xrightarrow{R_4-2R_3}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & -7 \\
0 & 0 & 4 & 12 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\xrightarrow{\frac{1}{4}R_3}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & -7 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：最后一行全为零，说明方程组有非零解。
步骤 6/8
目标：回代求解系数
由行最简形得方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 - x_2 - 2y_1 - y_2 = 0 \\
x_2 - y_1 - 7y_2 = 0 \\
y_1 + 3y_2 = 0
\end{cases}
$$
由 $y_1 + 3y_2 = 0$ 得 $y_1 = -3y_2$。代入第二式得 $x_2 - (-3y_2) - 7y_2 = x_2 - 4y_2 = 0$，即 $x_2 = 4y_2$。代入第一式得 $x_1 - 4y_2 - 2(-3y_2) - y_2 = x_1 + y_2 = 0$，即 $x_1 = -y_2$。取 $y_2 = 1$，得 $y_1 = -3$, $x_1 = -1$, $x_2 = 4$。
提示：回代时注意符号，从最后一个方程开始逐步代入。
步骤 7/8
目标：求交空间的一个向量
计算 $\xi = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 = -\alpha_1 + 4\alpha_2 = -(1,2,1,0) + 4(-1,1,1,1) = (-5,2,3,4)$。或用 $\beta$ 表示验证：$\xi = y_1 \beta_1 + y_2 \beta_2 = -3\beta_1 + \beta_2 = -3(2,-1,0,1) + (1,-1,3,7) = (-5,2,3,4)$。
提示：两种表示应得到相同结果，可互相验证。
步骤 8/8
目标：确定交空间的基和维数
由于方程组解空间维数为1（自由变量 $y_2$ 一个），故 $V_1 \cap V_2$ 的维数为1，基为 $\{(-5,2,3,4)\}$。
提示：交空间的维数等于齐次线性方程组解空间的维数，即自由变量的个数。
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