广西民族大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
四（15 分）、设向量 $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}$ 线性无关。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与设定符号
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$，向量 $\beta$ 可由该向量组线性表出，即存在一组数 $k_1, k_2, \dots, k_s$ 使得 $\beta = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_s \alpha_s$。
公式：\beta = \sum_{i=1}^s k_i \alpha_i
提示：注意线性表出的定义：存在一组系数使得等式成立。
步骤 2/6
目标：必要性：假设表示法唯一，证明向量组线性无关
假设 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 线性相关，则存在不全为零的数 $c_1, c_2, \dots, c_s$ 使得 $c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2 + \cdots + c_s \alpha_s = \mathbf{0}$。
公式：\sum_{i=1}^s c_i \alpha_i = \mathbf{0}, \quad (c_1,\dots,c_s) \neq \mathbf{0}
提示：线性相关的定义：存在不全为零的系数使得线性组合为零向量。
步骤 3/6
目标：必要性：构造另一种表示法导致矛盾
将上式与 $\beta$ 的表示式相加得 $\beta = (k_1 + c_1) \alpha_1 + (k_2 + c_2) \alpha_2 + \cdots + (k_s + c_s) \alpha_s$。由于 $c_1, c_2, \dots, c_s$ 不全为零，因此 $(k_1 + c_1, k_2 + c_2, \dots, k_s + c_s) \neq (k_1, k_2, \dots, k_s)$，从而得到 $\beta$ 的另一种表示法，与表示法唯一矛盾。故 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 线性无关。
公式：\beta = \sum_{i=1}^s (k_i + c_i) \alpha_i
提示：注意系数不全为零意味着新系数与旧系数不同，从而得到不同的表示法。
步骤 4/6
目标：充分性：假设向量组线性无关，证明表示法唯一
设 $\beta$ 有两种表示法：$\beta = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_s \alpha_s$ 和 $\beta = l_1 \alpha_1 + l_2 \alpha_2 + \cdots + l_s \alpha_s$。
公式：\beta = \sum_{i=1}^s k_i \alpha_i = \sum_{i=1}^s l_i \alpha_i
提示：假设有两种表示，需要证明系数对应相等。
步骤 5/6
目标：充分性：两式相减并利用线性无关性
两式相减得 $\mathbf{0} = (k_1 - l_1) \alpha_1 + (k_2 - l_2) \alpha_2 + \cdots + (k_s - l_s) \alpha_s$。由于 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 线性无关，故系数全为零，即 $k_i = l_i$ 对 $i=1,2,\dots,s$ 成立。因此表示法唯一。
公式：\mathbf{0} = \sum_{i=1}^s (k_i - l_i) \alpha_i \Rightarrow k_i = l_i \, \forall i
提示：线性无关的定义：零向量只能由系数全为零的线性组合表示。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，表示法唯一的充分必要条件是 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 线性无关。
提示：注意充分性和必要性都要证明。
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