广西民族大学 2012年高等代数第0题
📝 题目
一、（ 20 分）设 $\displaystyle A, B$ 分别是 $\displaystyle n \times m$ 利 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$\displaystyle I_{k}$ 是 $k$ 阶单位矩阵。
（1）证明：$\displaystyle \left|I_{n}-A B\right|=\left|I_{m}-B A\right|$ ；
（2）计算行列式：$\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}a_{1} b_{1} & 1+a_{1} b_{2} & \cdots & 1+a_{1} b_{n} \\ 1+a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \cdots & 1+a_{2} b_{n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1+a_{n} b_{1} & 1+a_{n} b_{2} & \cdots & a_{n} b_{n}\end{array}\right|$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：构造分块矩阵
考虑 $(n+m)\times (n+m)$ 分块矩阵 $\begin{pmatrix} I_n & A \\ B & I_m \end{pmatrix}$，其中 $A$ 是 $n\times m$，$B$ 是 $m\times n$。
提示：注意分块矩阵的维度匹配。
步骤 2/8
目标：通过行变换计算行列式
将第一行左乘 $B$ 加到第二行：$\begin{pmatrix} I_n & A \\ B & I_m \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} I_n & A \\ 0 & I_m - BA \end{pmatrix}$。行列式为 $|I_n| \cdot |I_m - BA| = |I_m - BA|$。
公式：分块三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积。
提示：行变换不改变行列式，但注意是左乘。
步骤 3/8
目标：通过列变换计算行列式
将第一列右乘 $A$ 加到第二列：$\begin{pmatrix} I_n & A \\ B & I_m \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ B & I_m - AB \end{pmatrix}$。行列式为 $|I_n| \cdot |I_m - AB| = |I_m - AB|$。
公式：分块三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积。
提示：列变换不改变行列式，注意是右乘。
步骤 4/8
目标：得出等式
两种方法得到相同的行列式，故 $|I_m - AB| = |I_m - BA|$。但题目要求 $|I_n - AB| = |I_m - BA|$，注意 $|I_m - AB|$ 是 $m$ 阶，而 $|I_n - AB|$ 是 $n$ 阶。实际上，由对称性，将 $A$ 和 $B$ 互换并调整阶数可得 $|I_n - AB| = |I_m - BA|$。更直接地，考虑分块矩阵 $\begin{pmatrix} I_m & B \\ A & I_n \end{pmatrix}$ 可得相同结论。
提示：注意阶数不同，但等式成立。
步骤 5/8
目标：将第二问的行列式表示为矩阵乘积
令 $A = \begin{pmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & 1 \end{pmatrix}_{n\times 2}$，$B = \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}_{2\times n}$，则 $AB$ 的 $(i,j)$ 元素为 $a_i b_j + 1$。原矩阵 $M$ 的 $(i,j)$ 元素：当 $i=j$ 时为 $a_i b_i$，当 $i\neq j$ 时为 $1+a_i b_j$。因此 $M = AB - I_n$。
提示：注意 $AB$ 的对角线是 $1+a_i b_i$，减去 $I_n$ 得到 $a_i b_i$。
步骤 6/8
目标：利用第一问结论
$D_n = |M| = |AB - I_n| = (-1)^n |I_n - AB|$。由第一问，$|I_n - AB| = |I_2 - BA|$。
公式：$|AB - I_n| = (-1)^n |I_n - AB|$
提示：注意符号：$|AB - I_n| = (-1)^n |I_n - AB|$。
步骤 7/8
目标：计算 $BA$ 和 $|I_2 - BA|$
计算 $BA = \begin{pmatrix} \sum a_i b_i & \sum b_i \\ \sum a_i & n \end{pmatrix}$。设 $S_1 = \sum a_i b_i$，$S_2 = \sum a_i$，$S_3 = \sum b_i$。则 $|I_2 - BA| = \begin{vmatrix} 1-S_1 & -S_3 \\ -S_2 & 1-n \end{vmatrix} = (1-S_1)(1-n) - S_2 S_3$。
公式：二阶行列式公式
提示：注意矩阵减法的顺序。
步骤 8/8
目标：得出最终结果
因此 $D_n = (-1)^n \left[ (1-S_1)(1-n) - S_2 S_3 \right] = (-1)^n \left[ (1-n)(1-\sum a_i b_i) - (\sum a_i)(\sum b_i) \right]$。
提示：最终结果可展开，但保留此形式即可。
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