广西民族大学 2012年高等代数第0题
📝 题目
七、（20分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明：
（1）$\displaystyle \sigma^{-1}(0)=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ；
（2）$\displaystyle V=\sigma^{-1}(0) \oplus \sigma(V)$ ；
（3）如果 $\displaystyle \tau$ 是 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma^{-1}(0), \sigma(V)$ 都是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间，则有 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明集合相等性
令 $W = \{\alpha - \sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$。首先证明 $W \subseteq \sigma^{-1}(0)$：对任意 $\alpha \in V$，有 $\sigma(\alpha - \sigma(\alpha)) = \sigma(\alpha) - \sigma^2(\alpha) = \sigma(\alpha) - \sigma(\alpha) = 0$，所以 $\alpha - \sigma(\alpha) \in \sigma^{-1}(0)$。反之，对任意 $\beta \in \sigma^{-1}(0)$，即 $\sigma(\beta)=0$，取 $\alpha = \beta$，则 $\beta = \beta - 0 = \beta - \sigma(\beta) \in W$，故 $\sigma^{-1}(0) \subseteq W$。因此 $\sigma^{-1}(0) = W$。
公式：$\sigma^2 = \sigma$
提示：注意 $\sigma^{-1}(0)$ 是零空间，即核。证明集合相等需双向包含。
步骤 2/6
目标：证明直和分解
首先证明 $V = \sigma^{-1}(0) + \sigma(V)$：对任意 $\alpha \in V$，有 $\alpha = (\alpha - \sigma(\alpha)) + \sigma(\alpha)$，其中 $\alpha - \sigma(\alpha) \in \sigma^{-1}(0)$，$\sigma(\alpha) \in \sigma(V)$。其次证明交为零：若 $\beta \in \sigma^{-1}(0) \cap \sigma(V)$，则存在 $\alpha \in V$ 使 $\beta = \sigma(\alpha)$，且 $\sigma(\beta)=0$，于是 $0 = \sigma(\beta) = \sigma^2(\alpha) = \sigma(\alpha) = \beta$，故 $\sigma^{-1}(0) \cap \sigma(V) = \{0\}$。因此 $V = \sigma^{-1}(0) \oplus \sigma(V)$。
公式：$\sigma^2 = \sigma$
提示：直和需要同时满足和与交的条件，注意利用幂等性化简。
步骤 3/6
目标：证明交换性：利用直和分解
对任意 $\alpha \in V$，由(2)知存在 $\beta \in \sigma^{-1}(0)$ 和 $\gamma \in \sigma(V)$ 使得 $\alpha = \beta + \gamma$。由于 $\sigma^{-1}(0)$ 是 $\tau$ 的不变子空间，有 $\tau(\beta) \in \sigma^{-1}(0)$，即 $\sigma(\tau(\beta)) = 0$。由于 $\sigma(V)$ 是 $\tau$ 的不变子空间，有 $\tau(\gamma) \in \sigma(V)$，即存在 $\delta \in V$ 使得 $\tau(\gamma) = \sigma(\delta)$。
公式：不变子空间定义
提示：注意分解的唯一性，但这里只需存在性。
步骤 4/6
目标：计算 $\sigma\tau(\alpha)$
$\sigma\tau(\alpha) = \sigma(\tau(\beta) + \tau(\gamma)) = \sigma(\tau(\beta)) + \sigma(\tau(\gamma)) = 0 + \sigma^2(\delta) = \sigma(\delta)$。
公式：$\sigma^2 = \sigma$
提示：利用 $\sigma(\tau(\beta))=0$ 和 $\sigma(\tau(\gamma)) = \sigma^2(\delta) = \sigma(\delta)$。
步骤 5/6
目标：计算 $\tau\sigma(\alpha)$
$\tau\sigma(\alpha) = \tau(\sigma(\beta) + \sigma(\gamma)) = \tau(0 + \sigma(\gamma)) = \tau(\sigma(\gamma))$。由于 $\gamma \in \sigma(V)$，存在 $\epsilon \in V$ 使得 $\gamma = \sigma(\epsilon)$，则 $\sigma(\gamma) = \sigma^2(\epsilon) = \sigma(\epsilon) = \gamma$，所以 $\tau\sigma(\alpha) = \tau(\gamma)$。
公式：$\sigma^2 = \sigma$
提示：注意 $\sigma(\gamma) = \gamma$ 是因为 $\gamma$ 在像空间中。
步骤 6/6
目标：比较两个结果
由第4步得 $\sigma\tau(\alpha) = \sigma(\delta)$，由第5步得 $\tau\sigma(\alpha) = \tau(\gamma)$。但 $\tau(\gamma) = \sigma(\delta)$（因为 $\tau(\gamma) \in \sigma(V)$ 且 $\sigma(\delta) = \tau(\gamma)$），故 $\sigma\tau(\alpha) = \tau\sigma(\alpha)$。由 $\alpha$ 的任意性，$\sigma\tau = \tau\sigma$。
提示：注意 $\tau(\gamma) = \sigma(\delta)$ 是直接由 $\tau(\gamma) \in \sigma(V)$ 得到的，但需确认 $\sigma(\delta) = \tau(\gamma)$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。