广西民族大学 2012年高等代数第0题
📝 题目
二、（15分）设 $n$ 为正整数，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ 都是多项式，并且
$$
x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x+1 \mid f_{1}\left(x^{n+1}\right)+x f_{2}\left(x^{n+1}\right)+\cdots+x^{n-1} f_{n}\left(x^{n+1}\right)
$$
证明：$\displaystyle (x-1)^{n} \mid f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{n}(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入单位根并利用整除条件
设 $\omega = e^{2\pi i/(n+1)}$，则 $\omega^{n+1}=1$ 且 $1+\omega+\cdots+\omega^n=0$。由条件，$x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x+1$ 整除 $P(x)=f_1(x^{n+1})+x f_2(x^{n+1})+\cdots+x^{n-1}f_n(x^{n+1})$，因此对 $k=1,2,\ldots,n$，$x=\omega^k$ 是 $P(x)$ 的根。
公式：$\omega = e^{2\pi i/(n+1)}$，$\omega^{n+1}=1$，$1+\omega+\cdots+\omega^n=0$
提示：注意 $\omega^k$ 是 $x^{n+1}=1$ 的根且 $\omega^k\neq 1$，所以 $1+\omega^k+\cdots+\omega^{kn}=0$。
步骤 2/7
目标：代入根得到线性方程组
将 $x=\omega^k$ 代入 $P(x)$，由于 $\omega^{k(n+1)}=1$，得 $f_1(1)+\omega^k f_2(1)+\cdots+\omega^{k(n-1)} f_n(1)=0$，$k=1,2,\ldots,n$。
公式：$f_1(1)+\omega^k f_2(1)+\cdots+\omega^{k(n-1)} f_n(1)=0$
提示：注意 $f_i(x^{n+1})$ 在 $x=\omega^k$ 时变为 $f_i(1)$，因为 $\omega^{k(n+1)}=1$。
步骤 3/7
目标：利用范德蒙矩阵证明所有 $f_i(1)=0$
上述 $n$ 个方程关于未知数 $f_1(1),\ldots,f_n(1)$ 的系数矩阵是范德蒙矩阵，其行列式为 $\prod_{1\le i
公式：$\det(\omega^{k(i-1)})_{k,i=1}^n = \prod_{1\le i
提示：范德蒙行列式非零是因为 $\omega^i$ 互不相同。
步骤 4/7
目标：得到 $x-1$ 整除每个 $f_i(x)$
由 $f_i(1)=0$ 知 $x-1$ 是 $f_i(x)$ 的因式，故存在多项式 $g_i(x)$ 使得 $f_i(x)=(x-1)g_i(x)$，$i=1,\ldots,n$。
公式：$f_i(x)=(x-1)g_i(x)$
提示：注意 $f_i(1)=0$ 是 $x-1$ 整除 $f_i(x)$ 的充要条件。
步骤 5/7
目标：代入原式并提取公因式
将 $f_i(x^{n+1})=(x^{n+1}-1)g_i(x^{n+1})$ 代入 $P(x)$，得 $P(x)=(x^{n+1}-1)\left[g_1(x^{n+1})+x g_2(x^{n+1})+\cdots+x^{n-1}g_n(x^{n+1})\right]$。由于 $x^{n+1}-1=(x-1)(x^n+\cdots+1)$，且 $x^n+\cdots+1$ 整除 $P(x)$，故 $x^n+\cdots+1$ 整除 $(x^{n+1}-1)Q(x)$，其中 $Q(x)=g_1(x^{n+1})+\cdots+x^{n-1}g_n(x^{n+1})$。
公式：$P(x)=(x^{n+1}-1)Q(x)$
提示：注意 $x^{n+1}-1$ 与 $x^n+\cdots+1$ 互素？实际上 $x^{n+1}-1=(x-1)(x^n+\cdots+1)$，但 $x-1$ 与 $x^n+\cdots+1$ 互素。
步骤 6/7
目标：重复上述过程得到 $g_i(1)=0$
由于 $x^n+\cdots+1$ 整除 $(x^{n+1}-1)Q(x)$，且 $x^n+\cdots+1$ 与 $x-1$ 互素，故 $x^n+\cdots+1$ 整除 $Q(x)$。对 $Q(x)$ 重复第一步至第三步的论证，可得 $g_i(1)=0$，即 $x-1$ 整除每个 $g_i(x)$。
公式：$x^n+\cdots+1 \mid Q(x)$
提示：注意 $x^n+\cdots+1$ 的根也是 $\omega^k$（$k=1,\ldots,n$），所以代入后得到关于 $g_i(1)$ 的齐次线性方程组，同样由范德蒙行列式非零得 $g_i(1)=0$。
步骤 7/7
目标：归纳得出 $(x-1)^n$ 整除每个 $f_i(x)$
由 $f_i(x)=(x-1)g_i(x)$ 且 $g_i(1)=0$，故 $g_i(x)=(x-1)h_i(x)$，从而 $f_i(x)=(x-1)^2 h_i(x)$。重复此过程 $n$ 次，可得 $f_i(x)=(x-1)^n p_i(x)$，因此 $(x-1)^n$ 整除 $f_1(x)\cdots f_n(x)$。
公式：$f_i(x)=(x-1)^n p_i(x)$
提示：每次重复都利用相同的整除条件，但注意每次代入后 $x^{n+1}-1$ 的幂次增加，但论证结构相同。
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