广西民族大学 2012年高等代数第0题
📝 题目
五、（15 分）已则 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 3 个四维欧氏空间 $\displaystyle \mathbf{R}^{4}$ 中线性无关的向量，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \in \mathbf{R}^{4}$ 且与 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$均正交，证明：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性相关．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与已知条件
已知 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 $\mathbb{R}^4$ 中线性无关的向量，$\beta_1, \beta_2 \in \mathbb{R}^4$ 且与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 均正交，即对任意 $i=1,2,3$ 有 $\langle \beta_j, \alpha_i \rangle = 0$，$j=1,2$。需要证明 $\beta_1, \beta_2$ 线性相关。
提示：注意正交的定义：内积为0。
步骤 2/6
目标：考虑向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1$ 的线性相关性
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，且 $\beta_1$ 与它们正交，我们断言 $\beta_1$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示。反证：若 $\beta_1 = \sum_{i=1}^3 c_i \alpha_i$，则 $\langle \beta_1, \beta_1 \rangle = \langle \beta_1, \sum c_i \alpha_i \rangle = \sum c_i \langle \beta_1, \alpha_i \rangle = 0$，故 $\beta_1 = 0$。此时 $\beta_1, \beta_2$ 显然线性相关（零向量与任何向量相关）。因此，若 $\beta_1 \neq 0$，则 $\beta_1$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，从而 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1$ 线性无关。
公式：$\langle \beta_1, \beta_1 \rangle = \sum c_i \langle \beta_1, \alpha_i \rangle = 0$
提示：注意 $\beta_1=0$ 的情况已包含在结论中，所以只需考虑非零情况。
步骤 3/6
目标：得到 $\mathbb{R}^4$ 的一组基
由于 $\mathbb{R}^4$ 的维数为4，而 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1$ 是4个线性无关的向量，因此它们构成 $\mathbb{R}^4$ 的一组基。
提示：线性无关的向量个数等于维数时构成基。
步骤 4/6
目标：将 $\beta_2$ 用这组基表示
因为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1$ 是基，所以存在唯一的一组系数 $k_1, k_2, k_3, k_4$ 使得 $\beta_2 = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3 + k_4 \beta_1$。
公式：$\beta_2 = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3 + k_4 \beta_1$
提示：基表示的唯一性。
步骤 5/6
目标：利用正交条件确定系数
由于 $\beta_2$ 与每个 $\alpha_i$ 正交，对 $i=1,2,3$ 有 $\langle \beta_2, \alpha_i \rangle = 0$。代入表达式：$\langle k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3 + k_4 \beta_1, \alpha_i \rangle = k_1 \langle \alpha_1, \alpha_i \rangle + k_2 \langle \alpha_2, \alpha_i \rangle + k_3 \langle \alpha_3, \alpha_i \rangle + k_4 \langle \beta_1, \alpha_i \rangle = 0$。但 $\langle \beta_1, \alpha_i \rangle = 0$，且 $\langle \alpha_j, \alpha_i \rangle$ 一般非零。然而，我们考虑向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，但未必正交。为了简化，我们可以利用 $\beta_1$ 与 $\alpha_i$ 正交的性质，但更直接的方法是：由于 $\beta_2$ 与所有 $\alpha_i$ 正交，且 $\beta_1$ 也与所有 $\alpha_i$ 正交，那么 $\beta_2 - k_4 \beta_1$ 也与所有 $\alpha_i$ 正交。但 $\beta_2 - k_4 \beta_1 = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3$，这个向量与自身正交当且仅当它为零向量。实际上，我们取内积：$\langle \beta_2 - k_4 \beta_1, \alpha_i \rangle = 0$，但 $\beta_2 - k_4 \beta_1$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合，所以它属于 $\text{span}\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$。由于 $\beta_2 - k_4 \beta_1$ 与每个 $\alpha_i$ 正交，特别地，它与自身正交（因为自身是 $\alpha_i$ 的线性组合），所以 $\langle \beta_2 - k_4 \beta_1, \beta_2 - k_4 \beta_1 \rangle = 0$，从而 $\beta_2 - k_4 \beta_1 = 0$。因此 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$。
公式：$\langle \beta_2 - k_4 \beta_1, \beta_2 - k_4 \beta_1 \rangle = 0$
提示：注意：$\beta_2 - k_4 \beta_1$ 是 $\alpha_i$ 的线性组合，所以它与自身正交推出它为零。
步骤 6/6
目标：得出线性相关结论
由 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$ 得 $\beta_2 = k_4 \beta_1$，因此 $\beta_1, \beta_2$ 线性相关。
公式：$\beta_2 = k_4 \beta_1$
提示：注意 $k_4$ 可以是任意实数，包括0（此时 $\beta_2=0$，也线性相关）。
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