广西民族大学 2012年高等代数第0题
📝 题目
八、（20 分）设 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式相同，求证 $\displaystyle \exists \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \alpha, \mathbf{A} \alpha, \mathbf{A}^{2} \alpha, \cdots, \mathbf{A}^{n-1} \alpha$ 是 $V$ 的一个基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解已知条件
设 $f(\lambda)$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征多项式，$m(\lambda)$ 是最小多项式。由题设 $f(\lambda)=m(\lambda)$，且 $\deg f = n$，因此 $m(\lambda)$ 是 $n$ 次多项式。
提示：注意特征多项式与最小多项式次数相等，且最小多项式整除特征多项式，故相等时次数必为n。
步骤 2/4
目标：循环向量的存在性
由于 $m(\lambda)$ 是 $\mathbf{A}$ 的最小多项式，根据循环子空间理论，存在向量 $\alpha \in V$ 使得 $m(\lambda)$ 是 $\alpha$ 的零化多项式，即 $m(\mathbf{A})\alpha=0$，且对于任何次数低于 $n$ 的多项式 $g(\lambda)$，有 $g(\mathbf{A})\alpha \neq 0$。这样的 $\alpha$ 称为循环向量。
公式：存在 $\alpha \in V$ 使得 $m(\mathbf{A})\alpha=0$ 且 $\forall g(\lambda)$ 次数 $
提示：循环向量的存在性依赖于最小多项式等于特征多项式，这是关键条件。
步骤 3/4
目标：证明向量组线性无关
假设存在不全为零的标量 $c_0, c_1, \ldots, c_{n-1}$ 使得 $\sum_{i=0}^{n-1} c_i \mathbf{A}^i \alpha = 0$。令 $g(\lambda)=\sum_{i=0}^{n-1} c_i \lambda^i$，则 $g(\mathbf{A})\alpha=0$。由于 $\deg g \leq n-1 < n$，由 $\alpha$ 的性质知 $g(\lambda)$ 必须是零多项式，即所有 $c_i=0$。因此这 $n$ 个向量线性无关。
公式：$g(\mathbf{A})\alpha=0$ 且 $\deg g < n$ 推出 $g=0$。
提示：注意线性组合的系数对应多项式系数，利用循环向量的性质排除非零解。
步骤 4/4
目标：得出基的结论
由于 $\dim V = n$，且 $\alpha, \mathbf{A}\alpha, \ldots, \mathbf{A}^{n-1}\alpha$ 是 $n$ 个线性无关的向量，因此它们构成 $V$ 的一个基。
提示：线性无关且个数等于维数，即为基。
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