广西民族大学 2012年高等代数第0题
📝 题目
六、（20分）设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶方阵，且满足矩阵方程：$\displaystyle A X=X B$ ，若 $\displaystyle A, B$ 没有相同的特征值，证明该方程只有零解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与假设
已知 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $AX = XB$，且 $A, B$ 没有相同的特征值。要证明方程只有零解，即 $X = 0$。采用反证法，假设 $X \neq 0$，则存在非零向量 $v$ 使得 $Xv \neq 0$。
提示：注意反证法的使用，假设存在非零解。
步骤 2/5
目标：引入特征值与特征向量
由于 $B$ 是方阵，存在特征值 $\lambda$ 和对应的特征向量 $v \neq 0$，使得 $Bv = \lambda v$。这里 $v$ 是 $B$ 的特征向量。
公式：Bv = \lambda v
提示：特征向量非零，且特征值可能为复数。
步骤 3/5
目标：利用矩阵方程推导
将 $AX = XB$ 两边右乘 $v$，得到 $A(Xv) = X(Bv) = X(\lambda v) = \lambda (Xv)$。因此 $A(Xv) = \lambda (Xv)$。
公式：A(Xv) = \lambda (Xv)
提示：注意矩阵乘法结合律，$X(\lambda v) = \lambda Xv$。
步骤 4/5
目标：得出矛盾
由 $A(Xv) = \lambda (Xv)$ 可知，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值，且 $Xv$ 是对应的特征向量（因为 $Xv \neq 0$）。但已知 $A$ 和 $B$ 没有相同的特征值，矛盾。
提示：确保 $Xv \neq 0$，否则不能说明 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值。
步骤 5/5
目标：结论
因此假设不成立，$X = 0$，即方程只有零解。
提示：反证法结论要明确。
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