广西民族大学 2012年高等代数第0题
📝 题目
四、（20分）已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换
$$
\Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}) \text {, 其中 } B=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$
与线性子空间
$$
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}
\end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathbf{K}\right\}
$$
（1）求 $W$ 的一个基；
（2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间；
（3）将 $\displaystyle \Psi$ 看成 $W$ 上的线性变换，求 $W$ 在（1）的基下的矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定子空间W的结构
子空间W由所有满足$x_{11}+x_{22}=0$的2×2矩阵组成，即$x_{22}=-x_{11}$。因此W中矩阵的一般形式为$\begin{pmatrix}a & b \\ c & -a\end{pmatrix}$，其中$a,b,c\in\mathbf{K}$。
公式：$x_{11}+x_{22}=0$
提示：注意对角线元素互为相反数，非对角线元素自由。
步骤 2/6
目标：构造W的一个基
取$a=1,b=0,c=0$得$E_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$；取$a=0,b=1,c=0$得$E_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$；取$a=0,b=0,c=1$得$E_3=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$。易见$E_1,E_2,E_3$线性无关且生成W，故它们构成W的一个基。
提示：基的选取不唯一，但需确保线性无关且张成W。
步骤 3/6
目标：计算Ψ(X)的表达式
设$X=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$，则$B^T=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$。计算$B^TX=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\a+c&b-a\end{pmatrix}$，$X^TB=\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&a+c\\b&b-a\end{pmatrix}$。因此$\Psi(X)=B^TX-X^TB=\begin{pmatrix}0&b-a-c\\a+c-b&0\end{pmatrix}$。
公式：$\Psi(X)=B^TX-X^TB$
提示：注意矩阵乘法顺序，$B^T$是B的转置。
步骤 4/6
目标：验证Ψ(X)属于W
由$\Psi(X)=\begin{pmatrix}0&b-a-c\\a+c-b&0\end{pmatrix}$知，其对角线元素均为0，满足$y_{11}+y_{22}=0$，故$\Psi(X)\in W$。因此W是Ψ的不变子空间。
提示：只需验证对角线元素之和为零。
步骤 5/6
目标：计算Ψ在基向量上的作用
分别计算$\Psi(E_1),\Psi(E_2),\Psi(E_3)$。
- $E_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$，代入得$\Psi(E_1)=\begin{pmatrix}0&0-1-0\\1+0-0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}=-E_2+E_3$。
- $E_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，得$\Psi(E_2)=\begin{pmatrix}0&1-0-0\\0+0-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=E_2-E_3$。
- $E_3=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$，得$\Psi(E_3)=\begin{pmatrix}0&0-1-1\\1+1-0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-2\\2&0\end{pmatrix}=-2E_2+2E_3$。
提示：注意将结果用基线性表示时，系数要准确。
步骤 6/6
目标：写出Ψ在基下的矩阵
矩阵的列向量是$\Psi(E_1),\Psi(E_2),\Psi(E_3)$在基$E_1,E_2,E_3$下的坐标。由$\Psi(E_1)=0\cdot E_1+(-1)E_2+1\cdot E_3$，$\Psi(E_2)=0\cdot E_1+1\cdot E_2+(-1)E_3$，$\Psi(E_3)=0\cdot E_1+(-2)E_2+2\cdot E_3$，得矩阵为$\begin{pmatrix}0&0&0\\-1&1&-2\\1&-1&2\end{pmatrix}$。
提示：矩阵的列对应基像的坐标，注意顺序。
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