广西民族大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
八、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，求证：属于 $A$ 的不同特征值的特征向量一定正交。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定特征值与特征向量
设 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 是 $A$ 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为 $\alpha$ 和 $\beta$，即 $A\alpha = \lambda_1 \alpha$，$A\beta = \lambda_2 \beta$。
公式：A\alpha = \lambda_1 \alpha, \quad A\beta = \lambda_2 \beta
提示：注意特征向量非零，且特征值不同。
步骤 2/5
目标：利用对称性转换内积
由于 $A$ 是实对称矩阵，有 $A^T = A$。考虑内积 $(A\alpha, \beta)$，一方面 $(A\alpha, \beta) = (\lambda_1 \alpha, \beta) = \lambda_1 (\alpha, \beta)$。另一方面，利用对称性：$(A\alpha, \beta) = (\alpha, A^T \beta) = (\alpha, A\beta) = (\alpha, \lambda_2 \beta) = \lambda_2 (\alpha, \beta)$。
公式：(A\alpha, \beta) = (\alpha, A^T \beta)
提示：内积的线性性：$(\lambda \alpha, \beta) = \lambda (\alpha, \beta)$，注意顺序。
步骤 3/5
目标：建立等式并化简
由两种方式计算 $(A\alpha, \beta)$ 得到 $\lambda_1 (\alpha, \beta) = \lambda_2 (\alpha, \beta)$，移项得 $(\lambda_1 - \lambda_2)(\alpha, \beta) = 0$。
公式：\lambda_1 (\alpha, \beta) = \lambda_2 (\alpha, \beta) \Rightarrow (\lambda_1 - \lambda_2)(\alpha, \beta) = 0
提示：注意不要遗漏括号。
步骤 4/5
目标：利用特征值不同推出正交
因为 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，所以 $\lambda_1 - \lambda_2 \neq 0$，从而 $(\alpha, \beta) = 0$，即 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交。
提示：零因子性质：若 $ab=0$ 且 $a\neq 0$，则 $b=0$。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，属于不同特征值的特征向量正交。证毕。
提示：该结论仅对实对称矩阵成立。
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