广西民族大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
六、（15分）设 $A$ 为复系数 $n$ 阶方阵，求证：$A$ 相似于 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}B & 0 \\ 0 & C\end{array}\right)$ ，其中 $B$ 为可逆矩阵，$C$ 为幂零矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析特征多项式
设 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=\det(\lambda I-A)$。在复数域上，$f(\lambda)$ 可分解为 $f(\lambda)=\lambda^s g(\lambda)$，其中 $g(0)\neq 0$，即 $g(\lambda)$ 不含零根。这里 $s$ 是零特征值的代数重数。
公式：f(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\lambda^s g(\lambda),\ g(0)\neq 0
提示：注意特征多项式在复数域上总能分解为一次因式的乘积，零特征值的重数即为 $s$。
步骤 2/7
目标：引入线性变换和根子空间分解
令 $V=\mathbb{C}^n$，考虑线性变换 $\mathcal{A}: V\to V$，$\mathcal{A}(x)=Ax$。由零化多项式理论（或 Jordan 标准形理论），$V$ 可分解为根子空间的直和：$V=V_0\oplus V_1$，其中 $V_0=\{x\in V\mid \mathcal{A}^k x=0\text{ 对某 }k\}$ 是零特征值的根子空间，$V_1$ 是非零特征值的根子空间之和。
公式：V=V_0\oplus V_1,\ V_0=\bigcup_{k\ge 1}\ker(\mathcal{A}^k),\ V_1=\bigoplus_{\lambda_i\neq 0}\ker((\mathcal{A}-\lambda_i I)^{n_i})
提示：根子空间分解是直和分解，且每个根子空间都是 $\mathcal{A}$-不变子空间。
步骤 3/7
目标：验证子空间的不变性
由于 $\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{A}^k$ 可交换，对任意 $x\in V_0$，存在 $k$ 使得 $\mathcal{A}^k x=0$，则 $\mathcal{A}^k(\mathcal{A}x)=\mathcal{A}(\mathcal{A}^k x)=0$，故 $\mathcal{A}x\in V_0$，所以 $V_0$ 是 $\mathcal{A}$-不变子空间。类似地，$V_1$ 也是 $\mathcal{A}$-不变子空间。
提示：不变性的验证需要利用线性变换的可交换性。
步骤 4/7
目标：选取基并得到分块矩阵
取 $V_0$ 的一组基和 $V_1$ 的一组基，合并为 $V$ 的一组基。则 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵为分块对角矩阵 $\begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix}$，其中 $B$ 是 $\mathcal{A}|_{V_1}$ 的矩阵，$C$ 是 $\mathcal{A}|_{V_0}$ 的矩阵。由于 $V_0$ 和 $V_1$ 都是不变子空间，所以矩阵呈分块对角形式。
公式：A \sim \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix}
提示：注意基的选取顺序，通常先取 $V_1$ 的基再取 $V_0$ 的基，但顺序不影响结论。
步骤 5/7
目标：证明 B 可逆
$\mathcal{A}|_{V_1}$ 的特征值均为非零（因为 $V_1$ 由非零特征值的根子空间构成），所以 $B$ 的特征值全非零，从而 $\det(B)\neq 0$，故 $B$ 可逆。
公式：\det(B)=\prod_{\lambda_i\neq 0}\lambda_i^{n_i}\neq 0
提示：可逆性等价于特征值全不为零。
步骤 6/7
目标：证明 C 是幂零矩阵
$\mathcal{A}|_{V_0}$ 的特征值全为零，因此 $C$ 的特征值全为零，从而 $C$ 是幂零矩阵。事实上，存在正整数 $k$ 使得 $C^k=0$（例如 $k$ 可取 $V_0$ 的维数）。
公式：C^k=0\text{ 对某 }k
提示：幂零矩阵的指数不超过其阶数。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，$A$ 相似于 $\begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix}$，其中 $B$ 可逆，$C$ 幂零。
提示：相似变换矩阵由基变换给出。
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