广西民族大学 2016年高等代数第0题
📝 题目
四、（20分）将二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}-3 x_{2}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 化为标准形，并写出非退化的线性替换。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型表达式
给定二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-3x_2^2-2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3$。
提示：注意各项系数符号，特别是交叉项系数要除以2得到矩阵元素。
步骤 2/7
目标：对 $x_1$ 配方
将含 $x_1$ 的项集中：$f = x_1^2 - 2x_1(x_2 - x_3) - 3x_2^2 - 6x_2x_3$。加上 $(x_2 - x_3)^2$ 再减去：$f = [x_1 - (x_2 - x_3)]^2 - (x_2 - x_3)^2 - 3x_2^2 - 6x_2x_3$。展开得 $f = (x_1 - x_2 + x_3)^2 - x_2^2 + 2x_2x_3 - x_3^2 - 3x_2^2 - 6x_2x_3 = (x_1 - x_2 + x_3)^2 - 4x_2^2 - 4x_2x_3 - x_3^2$。
公式：配方法：$ax^2+bx = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a}$
提示：注意添加和减去相同项时符号正确，避免遗漏。
步骤 3/7
目标：对 $x_2$ 配方
将剩余项中 $x_2$ 部分配方：$f = (x_1 - x_2 + x_3)^2 - 4(x_2^2 + x_2x_3) - x_3^2$。加上 $\frac{1}{4}x_3^2$ 再减去：$f = (x_1 - x_2 + x_3)^2 - 4\left(x_2 + \frac{1}{2}x_3\right)^2 + x_3^2 - x_3^2 = (x_1 - x_2 + x_3)^2 - 4\left(x_2 + \frac{1}{2}x_3\right)^2$。
公式：配方法：$a(x^2+px) = a\left(x+\frac{p}{2}\right)^2 - \frac{ap^2}{4}$
提示：注意系数4的处理，括号内要正确配出完全平方。
步骤 4/7
目标：引入新变量得到标准形
令 $y_1 = x_1 - x_2 + x_3$，$y_2 = x_2 + \frac{1}{2}x_3$，$y_3 = x_3$，则标准形为 $f = y_1^2 - 4y_2^2$。
提示：新变量应线性无关，确保变换非退化。
步骤 5/7
目标：写出从 $x$ 到 $y$ 的变换矩阵
变换关系为 $\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$。
提示：矩阵的行对应新变量系数，列对应旧变量。
步骤 6/7
目标：求逆变换得到非退化线性替换
逆矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，因此 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}$，即 $x_1 = y_1 + y_2 - \frac{3}{2}y_3$，$x_2 = y_2 - \frac{1}{2}y_3$，$x_3 = y_3$。
公式：逆矩阵公式或解线性方程组
提示：求逆时注意计算准确性，可用代入验证。
步骤 7/7
目标：总结最终答案
标准形为 $y_1^2 - 4y_2^2$，非退化线性替换为 $x_1 = y_1 + y_2 - \frac{3}{2}y_3$，$x_2 = y_2 - \frac{1}{2}y_3$，$x_3 = y_3$。
提示：标准形中缺 $y_3$ 项，说明秩为2，符号差为0。
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