广西民族大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
一、（15 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}+2 x^{3}-x^{2}-4 x-2, g(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-2 x-2$ 都是有理数域 $Q$ 上的多项式，求 $\displaystyle u(x), v(x) \in Q[x]$ 使得
$$
f(x) u(x)+g(x) v(x)=(f(x), g(x)) .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定最大公因式
使用辗转相除法求 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的最大公因式。首先计算 $f(x) - g(x)$：
$$f(x) - g(x) = (x^4+2x^3-x^2-4x-2) - (x^4+x^3-x^2-2x-2) = x^3 - 2x.$$
提示：注意多项式减法时各项系数要仔细对齐。
步骤 2/7
目标：继续辗转相除
用 $g(x)$ 除以 $x^3-2x$：
$$g(x) = (x+1)(x^3-2x) + (x^2-2).$$ 计算过程：$(x+1)(x^3-2x) = x^4 + x^3 - 2x^2 - 2x$，相减得余数 $x^2-2$。
提示：多项式除法要逐项进行，注意符号。
步骤 3/7
目标：得到最大公因式
用 $x^3-2x$ 除以 $x^2-2$：
$$x^3-2x = x(x^2-2) + 0.$$ 余数为0，所以最大公因式为 $x^2-2$。即 $(f(x), g(x)) = x^2-2$。
提示：辗转相除法最后一步的除式即为最大公因式。
步骤 4/7
目标：回代第一步
从第一步得：$x^3-2x = f(x) - g(x)$。
提示：注意符号，$f(x)-g(x)$ 即为 $x^3-2x$。
步骤 5/7
目标：回代第二步
从第二步得：$x^2-2 = g(x) - (x+1)(x^3-2x)$。
提示：将余数表示为 $g(x)$ 减去商乘除式。
步骤 6/7
目标：代入消去中间多项式
将 $x^3-2x = f(x)-g(x)$ 代入上式：
$$x^2-2 = g(x) - (x+1)(f(x)-g(x)) = g(x) - (x+1)f(x) + (x+1)g(x) = -(x+1)f(x) + (x+2)g(x).$$
提示：合并同类项时注意 $g(x)$ 的系数：$1 + (x+1) = x+2$。
步骤 7/7
目标：得出结果
因此，$u(x) = -(x+1) = -x-1$，$v(x) = x+2$。验证：
$$f(x)(-x-1) + g(x)(x+2) = x^2-2.$$
提示：最终结果要写成 $u(x)$ 和 $v(x)$ 的形式，注意符号。
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