广西民族大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
七、（15 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & 0 \\ -3 & -6 & 1\end{array}\right)$ ，问矩阵 $A$ 是否可以对角化？若 $A$ 可以对角化，求出一个可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 成对角形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算特征多项式
计算 $\det(\lambda I - A)$：
$$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-4 & -6 & 0 \\ 3 & \lambda+5 & 0 \\ 3 & 6 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-1) \begin{vmatrix} \lambda-4 & -6 \\ 3 & \lambda+5 \end{vmatrix} = (\lambda-1)[(\lambda-4)(\lambda+5)+18] = (\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-20+18) = (\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-2) = (\lambda-1)^2(\lambda+2).$$
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)^2(\lambda+2)$
提示：注意按第三列展开简化计算，避免行列式计算错误。
步骤 2/6
目标：确定特征值
由特征多项式得特征值为 $\lambda_1 = 1$（二重根）和 $\lambda_2 = -2$（单根）。
提示：特征值的代数重数：1的重数为2，-2的重数为1。
步骤 3/6
目标：求特征值1的特征向量
解 $(I - A)x = 0$：
$$I - A = \begin{pmatrix} -3 & -6 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
基础解系为 $\xi_1 = (-2, 1, 0)^T$，$\xi_2 = (0, 0, 1)^T$，几何重数为2。
提示：注意行变换后自由变量为 $x_2$ 和 $x_3$，取 $x_2=1, x_3=0$ 和 $x_2=0, x_3=1$。
步骤 4/6
目标：求特征值-2的特征向量
解 $(-2I - A)x = 0$：
$$-2I - A = \begin{pmatrix} -6 & -6 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & -3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
基础解系为 $\xi_3 = (-1, 1, 1)^T$。
提示：行变换后得到 $x_1 + x_2 = 0$ 和 $x_2 - x_3 = 0$，取 $x_3=1$ 得解。
步骤 5/6
目标：判断可对角化条件
对于 $\lambda=1$，代数重数为2，几何重数为2，相等；对于 $\lambda=-2$，代数重数为1，几何重数为1，相等。因此矩阵 $A$ 可对角化。
提示：每个特征值的几何重数等于代数重数是可对角化的充要条件。
步骤 6/6
目标：构造可逆矩阵T
取 $T = (\xi_1, \xi_2, \xi_3) = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，则 $T^{-1}AT = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$。
提示：T的列向量顺序对应特征值顺序，对角矩阵的对角元按此顺序排列。
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