广西民族大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
九、（15 分）证明：实二次型 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}(\lambda i j+i+j) x_{i} x_{j}(n>1)$ 的秩和符号差与 $\displaystyle \lambda$ 无关。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将二次型写成矩阵形式
设二次型为 $f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (\lambda ij+i+j)x_ix_j$。令 $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)^T$，则 $f=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$，其中 $A=(a_{ij})$，$a_{ij}=\lambda ij+i+j$。
公式：$f=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$
提示：注意 $A$ 是对称矩阵，因为 $a_{ij}=a_{ji}$。
步骤 2/7
目标：将矩阵分解为向量外积形式
定义向量 $\mathbf{u}=(1,2,\dots,n)^T$，$\mathbf{v}=(1,1,\dots,1)^T$。则 $\mathbf{u}\mathbf{u}^T$ 的 $(i,j)$ 元为 $ij$，$\mathbf{v}\mathbf{u}^T$ 的 $(i,j)$ 元为 $i$，$\mathbf{u}\mathbf{v}^T$ 的 $(i,j)$ 元为 $j$。因此 $A = \lambda \mathbf{u}\mathbf{u}^T + \mathbf{v}\mathbf{u}^T + \mathbf{u}\mathbf{v}^T$。
公式：$A = \lambda \mathbf{u}\mathbf{u}^T + \mathbf{v}\mathbf{u}^T + \mathbf{u}\mathbf{v}^T$
提示：注意 $\mathbf{v}\mathbf{u}^T$ 和 $\mathbf{u}\mathbf{v}^T$ 互为转置，但 $A$ 是对称的。
步骤 3/7
目标：将二次型表示为线性组合的平方和乘积
计算 $\sum_{i,j} ij x_i x_j = (\sum i x_i)^2$，$\sum_{i,j} i x_i x_j = (\sum i x_i)(\sum x_j)$，$\sum_{i,j} j x_i x_j = (\sum x_i)(\sum j x_j)$，且两者相等。因此 $\sum_{i,j} (i+j)x_i x_j = 2(\sum i x_i)(\sum x_j)$。所以 $f = \lambda (\sum_{i=1}^n i x_i)^2 + 2(\sum_{i=1}^n i x_i)(\sum_{j=1}^n x_j)$。
公式：$f = \lambda u^2 + 2uv$，其中 $u=\sum i x_i$，$v=\sum x_j$
提示：注意交叉项系数为2，因为 $i+j$ 对称。
步骤 4/7
目标：判断线性函数 $u$ 和 $v$ 的线性无关性
考虑向量 $(1,2,\dots,n)$ 和 $(1,1,\dots,1)$，由于 $n>1$，它们线性无关，因此 $u$ 和 $v$ 作为线性函数也线性无关。
提示：线性无关性确保后续变换是非退化的。
步骤 5/7
目标：将二次型化为二元二次型
由于 $u$ 和 $v$ 线性无关，可以选取一组基，使得前两个坐标就是 $u$ 和 $v$。则二次型化为 $\lambda y_1^2 + 2y_1y_2$，其中 $y_1=u$，$y_2=v$，其余变量系数为0。
公式：$f = \lambda y_1^2 + 2y_1y_2$
提示：注意这是非退化线性变换，不改变二次型的秩和符号差。
步骤 6/7
目标：分析二元二次型的秩和符号差
二元二次型 $g(y_1,y_2)=\lambda y_1^2+2y_1y_2$ 的矩阵为 $\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，行列式为 $-1$，故秩为2。特征多项式 $t^2-\lambda t-1$ 的判别式 $\lambda^2+4>0$，特征值一正一负，正惯性指数为1，负惯性指数为1，符号差为0。当 $\lambda=0$ 时，矩阵为 $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$，特征值 $\pm1$，符号差仍为0。
公式：$\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
提示：符号差=正惯性指数-负惯性指数，这里恒为0。
步骤 7/7
目标：得出结论
原二次型经过非退化线性变换后，秩恒为2，符号差恒为0，与 $\lambda$ 无关。
提示：注意 $n>1$ 的条件保证了 $u$ 和 $v$ 线性无关。
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