广西民族大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
二、（15 分）计算 $n$ 阶行列式
$$
\left|\begin{array}{ccccc}
x-a & a & a & \cdots & a \\
a & x-a & a & \cdots & a \\
a & a & x-a & \cdots & a \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a & a & a & \cdots & x-a
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将各行加到第一行
将第2行至第n行都加到第1行。第1行第j列元素变为：$(x-a) + (n-1)a = x + (n-2)a$，因此第1行所有元素均为$x+(n-2)a$。
提示：注意加和时，第1行本身也要参与，但这里是将其他行加到第1行，第1行原元素被替换。
步骤 2/5
目标：提取公因子
从第1行提取公因子$x+(n-2)a$，得到：
$$D_n = (x+(n-2)a) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a & x-a & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \cdots & x-a \end{vmatrix}.$$
公式：行列式提取公因子：若一行有公因子k，则k可提到行列式外。
提示：提取公因子时，只对第1行操作，其他行不变。
步骤 3/5
目标：消去下方元素
将第1行的$-a$倍分别加到第2至第n行。对于第i行（i≥2），第1列变为$a + (-a)\cdot 1 = 0$，第j列（j≥2）变为：当j=i时，$x-a + (-a)\cdot 1 = x-2a$；当j≠i时，$a + (-a)\cdot 1 = 0$。因此得到下三角全为0的矩阵。
公式：行变换：$R_i \leftarrow R_i - aR_1$，行列式值不变。
提示：注意第1行乘以$-a$加到其他行时，第1行本身不变。
步骤 4/5
目标：化为上三角行列式
经过行变换后，行列式变为：
$$D_n = (x+(n-2)a) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & x-2a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & x-2a \end{vmatrix}.$$ 这是一个上三角行列式，对角线元素为1和$n-1$个$x-2a$。
提示：确认非对角线元素均为0。
步骤 5/5
目标：计算上三角行列式
上三角行列式的值等于对角线元素的乘积：$1 \cdot (x-2a)^{n-1}$。因此：
$$D_n = (x+(n-2)a)(x-2a)^{n-1}.$$
公式：上三角行列式等于主对角线元素乘积。
提示：注意指数是$n-1$，因为只有$n-1$个$x-2a$。
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