广西民族大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
五、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关，而 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta, \gamma$ 线性相关，证明：或者 $\displaystyle \beta$ 与 $\displaystyle \gamma$ 中至少有一个可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性表示，或者向量组 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \gamma\right\}$ 等价。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由已知条件建立线性关系
已知 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 线性无关，而 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r, \beta, \gamma$ 线性相关。根据线性相关的定义，存在不全为零的系数 $k_1, k_2, \dots, k_r, l, m$ 使得
$$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_r\alpha_r + l\beta + m\gamma = 0.$$
公式：$k_1\alpha_1 + \cdots + k_r\alpha_r + l\beta + m\gamma = 0$
提示：注意系数不全为零，但可能某些系数为零。
步骤 2/6
目标：分情况讨论：l和m不全为零
考虑 $l$ 和 $m$ 不全为零的情形。若 $l \neq 0$，则可将 $\beta$ 表示为其他向量的线性组合：
$$\beta = -\frac{1}{l}(k_1\alpha_1 + \cdots + k_r\alpha_r + m\gamma).$$
此时，如果 $m=0$，则 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 线性表示；如果 $m \neq 0$，则 $\gamma$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_r,\beta$ 线性表示。
若 $l=0$ 而 $m \neq 0$，则 $\gamma$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 线性表示。
公式：$\beta = -\frac{1}{l}(k_1\alpha_1 + \cdots + k_r\alpha_r + m\gamma)$
提示：注意 $l$ 和 $m$ 可能有一个为零，此时结论直接成立。
步骤 3/6
目标：排除l=m=0的情况
若 $l=m=0$，则原式变为 $k_1\alpha_1 + \cdots + k_r\alpha_r = 0$。由于 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 线性无关，必有 $k_1=\cdots=k_r=0$，这与系数不全为零矛盾。因此 $l=m=0$ 不可能发生。
提示：线性无关组系数全为零是唯一解。
步骤 4/6
目标：考虑另一种情形：β和γ都不能由α组线性表示
假设 $\beta$ 和 $\gamma$ 都不能由 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 线性表示。由前面的讨论，此时 $l$ 和 $m$ 均不为零（否则若 $l=0$ 或 $m=0$，则另一个可由 $\alpha$ 组线性表示，矛盾）。于是从线性关系式可得
$$\beta = -\frac{1}{l}(k_1\alpha_1 + \cdots + k_r\alpha_r + m\gamma),$$
$$\gamma = -\frac{1}{m}(k_1\alpha_1 + \cdots + k_r\alpha_r + l\beta).$$
公式：$\beta = -\frac{1}{l}(k_1\alpha_1 + \cdots + k_r\alpha_r + m\gamma)$ 和 $\gamma = -\frac{1}{m}(k_1\alpha_1 + \cdots + k_r\alpha_r + l\beta)$
提示：注意 $l$ 和 $m$ 非零是推导的关键。
步骤 5/6
目标：证明向量组等价
由上述表达式可知，$\beta$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_r,\gamma$ 线性表示，$\gamma$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_r,\beta$ 线性表示。因此向量组 $\{\alpha_1,\dots,\alpha_r,\beta\}$ 与 $\{\alpha_1,\dots,\alpha_r,\gamma\}$ 可以互相线性表示，即等价。
提示：等价意味着两个向量组张成的线性空间相同。
步骤 6/6
目标：总结结论
综合以上讨论，要么 $\beta$ 或 $\gamma$ 中至少有一个可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 线性表示，要么两个向量组等价。命题得证。
提示：注意结论是“或者...或者...”，两种情况可能同时发生，但证明只需覆盖所有可能。
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