广西民族大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
八、（20 分）（1）证明：在一个欧氏空间里，对于任意向量 $\displaystyle \xi, \eta$ ，有不等式： $\displaystyle (\xi, \eta)^{2} \leq(\xi, \xi)(\eta, \eta)$ ，当且仅当 $\displaystyle \xi$ 与 $\displaystyle \eta$ 线性相关时，此不等式才取等号；（2）设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 是欧氏空间两个线性无关的向量，且满足以下条件：$\displaystyle \frac{2(\alpha, \beta)}{(\alpha, \alpha)}$ 和 $\displaystyle \frac{2(\alpha, \beta)}{(\beta, \beta)}$ 都是 $\displaystyle \leq 0$ 的整数．证明：$\displaystyle \alpha$ 与 $\displaystyle \beta$ 的夹角只可能是 $\displaystyle \frac{\pi}{2}, \frac{2}{3} \pi, \frac{3}{4} \pi$ 或 $\displaystyle \frac{5}{6} \pi$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明柯西-施瓦茨不等式
对于任意向量 $\xi, \eta$，考虑实变量 $t$ 的二次型：$(\xi + t\eta, \xi + t\eta) = (\xi, \xi) + 2t(\xi, \eta) + t^2(\eta, \eta) \geq 0$ 恒成立。该二次型关于 $t$ 的判别式 $\Delta = 4(\xi, \eta)^2 - 4(\xi, \xi)(\eta, \eta) \leq 0$，即 $(\xi, \eta)^2 \leq (\xi, \xi)(\eta, \eta)$。
公式：$(\xi + t\eta, \xi + t\eta) = (\xi, \xi) + 2t(\xi, \eta) + t^2(\eta, \eta) \geq 0$
提示：注意二次型非负的条件是判别式非正，且二次项系数为正。
步骤 2/8
目标：证明等号成立条件
等号成立当且仅当判别式为零，即存在 $t$ 使得 $\xi + t\eta = 0$，这意味着 $\xi$ 与 $\eta$ 线性相关。反之，若 $\xi$ 与 $\eta$ 线性相关，则存在 $t$ 使 $\xi = -t\eta$，代入不等式可得等号成立。
提示：线性相关包括其中一个为零向量的情况。
步骤 3/8
目标：引入夹角并设参数
设 $\alpha, \beta$ 线性无关，夹角 $\theta \in (0, \pi)$。由柯西-施瓦茨不等式，$\cos\theta = \frac{(\alpha, \beta)}{\sqrt{(\alpha, \alpha)(\beta, \beta)}}$。令 $a = \frac{2(\alpha, \beta)}{(\alpha, \alpha)}$，$b = \frac{2(\alpha, \beta)}{(\beta, \beta)}$，由条件知 $a, b \leq 0$ 且为整数。
公式：$\cos\theta = \frac{(\alpha, \beta)}{\sqrt{(\alpha, \alpha)(\beta, \beta)}}$
提示：注意 $a,b$ 的定义中分母为正，分子为负，故 $a,b$ 非正。
步骤 4/8
目标：用参数表示夹角余弦
由 $a,b$ 定义得 $(\alpha, \beta) = \frac{a}{2}(\alpha, \alpha) = \frac{b}{2}(\beta, \beta)$，从而 $(\beta, \beta) = \frac{a}{b}(\alpha, \alpha)$。代入 $\cos\theta$：$\cos\theta = \frac{\frac{a}{2}(\alpha, \alpha)}{\sqrt{(\alpha, \alpha)\cdot \frac{a}{b}(\alpha, \alpha)}} = \frac{a}{2}\sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{\sqrt{ab}}{2}$。由于 $a,b \leq 0$，设 $a = -m, b = -n$，$m,n \in \mathbb{N}^+$，则 $\cos\theta = -\frac{\sqrt{mn}}{2}$。
公式：$\cos\theta = -\frac{\sqrt{mn}}{2}$
提示：注意 $a,b$ 同号，$ab \geq 0$，开方时取正。
步骤 5/8
目标：确定整数对的可能取值
由 $|\cos\theta| \leq 1$ 得 $\sqrt{mn} \leq 2$，即 $mn \leq 4$。$m,n$ 为正整数，可能组合有：$(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (2,2)$。
公式：$mn \leq 4$
提示：注意 $m,n$ 是正整数，且顺序不同对应不同情况。
步骤 6/8
目标：排除线性相关情形
若 $\cos\theta = -1$，则 $\theta = \pi$，此时 $\alpha$ 与 $\beta$ 方向相反，线性相关，与题设矛盾。对应组合 $(1,4), (4,1), (2,2)$ 均得 $\cos\theta = -1$，故排除。
提示：线性无关要求 $\theta \neq 0, \pi$。
步骤 7/8
目标：计算剩余组合对应的夹角
剩余组合：$(1,1)$ 得 $\cos\theta = -\frac{1}{2}$，$\theta = \frac{2}{3}\pi$；$(1,2)$ 或 $(2,1)$ 得 $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\theta = \frac{3}{4}\pi$；$(1,3)$ 或 $(3,1)$ 得 $\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\theta = \frac{5}{6}\pi$。另外，若 $a=b=0$，则 $(\alpha, \beta)=0$，$\theta = \frac{\pi}{2}$，此时 $0$ 是整数且 $\leq 0$，符合条件。
提示：注意 $a=b=0$ 对应 $m=n=0$，但 $m,n$ 定义为正整数，需单独考虑。
步骤 8/8
目标：总结所有可能夹角
因此，$\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角只可能是 $\frac{\pi}{2}, \frac{2}{3}\pi, \frac{3}{4}\pi, \frac{5}{6}\pi$。
提示：最终答案需包含所有四种情况。
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